Eine inhomogene lineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung der Form
![{\displaystyle y^{\prime }(x)=a(x)y(x)+b(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288e4d20d50aca9294a3b480a11e49837e08349d)
mit stetigen Funktionen
, oder allgemeiner eine Differentialgleichung n. Ordnung der Form
![{\displaystyle \textstyle y^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x)y^{(k)}(x)+b(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b9e7a7af62548c7bfee3697d822aef7b823c24)
mit stetigen Funktionen
. Die Funktion
wird als Inhomogenität der Differentialgleichung bezeichnet.
Inhomogene lineare Differentialgleichungen können mit der Methode der Variation der Konstanten gelöst werden:
Man bestimmt zunächst ein Fundamentalsystem
von
Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung
. (Im Fall 1. Ordnung
verwendet man nur eine Lösung der Gleichung
.)
Dann wählt man den Ansatz
und löst die sich ergebenden Differentialgleichungen für die Konstanten
.
Wir betrachten die Differentialgleichung
.
Die zugehörige homogene Gleichung
hat die Lösungen
.
Wir wählen deshalb den Ansatz
,
woraus sich für
die Differentialgleichung
![{\displaystyle C^{\prime }(x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd25bd4dc068db2fb4956f7242fb58958ff1e6c)
mit Lösung
ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form
.
Gegeben sei eine Differentialgleichung (DGL), wie sie z. B. für lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung für dynamische Systeme Verwendung findet:
![{\displaystyle x^{\prime }(t)=ax(t)+bu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c45e7c9623b27a6e1ea3dc9063d1a5b543bf35d)
Die zugehörige homogene Differentialgleichung
hat folgende Lösung:
![{\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41f3df80106b0b9955545869bf980ab2836ce9e)
Die Lösung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten. Dazu wird auf die Lösung der homogenen DGL aufgebaut. Die Lösungs-Konstante
wird „variiert“ und im Folgenden C(t) genannt:
Lösungs Ansatz:
![{\displaystyle x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977d06e4e9fdc269ef3d9183d97387f1f023648a)
Ableitung mit Kettenregel:
![{\displaystyle x^{\prime }(t)=C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe74318c6fabd862db0382f3e69c78a4e38b648)
Beides eingesetzt in die ursprüngliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit
nach
aufgelöst:
![{\displaystyle C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}=aC(t)e^{a(t-t_{0})}+bu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bcdeb5938e268515cb1cc2983f602282d60968)
![{\displaystyle C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}=bu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ded3a3ab922a49fd4af0f5c8163d1fc5e8d0ec)
![{\displaystyle C^{\prime }(t)=bu(t)e^{-a(t-t_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2183361a35d5ec4f5449b3a32f72e03fd28813)
Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert. Der linke Term ergibt sich aus der Überlegung, dass die Ableitung von
ja
ergibt:
.
Auflösung nach
und Verwendung von
:
![{\displaystyle C(t)=\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau +C(t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fd2f342e2d8710ede7f7680129887ff69d8fdd)
![{\displaystyle C(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5e2538c129fb60743e65831e79b617fa6c58a2)
Eingesetzt in obigen Lösungs-Ansatz
ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen:
![{\displaystyle x(t)=(x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau )\cdot e^{a(t-t_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beedea75c1095f70818b4b43b21b40c895c75f9f)
![{\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+e^{a(t-t_{0})}\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c2d5f0962f3d6c87ea3295f237621155e81fe6)
![{\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-t_{0})}e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff34c043497c64a2db9d47cb5b0300eaa0831959)
![{\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{at-at_{0}}e^{-a\tau +at_{0})}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0818879f76266a5a47aef667dc23b127b139a3)
Die Lösung für die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schließlich zu:
![{\displaystyle x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-\tau )}d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99d3906e80ebab683abb71c4291928f20cb485d)