K-monotone Funktion

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Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom nach abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Gegeben sei eine Funktion mit und ein echter Kegel im sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung und die strikte verallgemeinerte Ungleichung . Dann heißt die Funktion

  • K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • K-monoton fallend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • strikt K-monoton fallend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
  • K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.
  • Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels .
  • Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels . Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
  • Sind die Funktionen monoton wachsend, so ist die Funktion
K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten . Dies folgt direkt aus der Monotonie der .

Sei differenzierbar und eine konvexe Menge sowie der duale Kegel des Kegels . Dann gilt:

  • ist K-monoton wachsend auf genau dann, wenn für alle .
  • ist K-monoton fallend auf genau dann, wenn für alle .
  • Wenn für alle gilt, dann ist strikt K-monoton wachsend auf .
  • Wenn für alle gilt, dann ist strikt K-monoton fallend auf .

Matrix-monotone Funktionen

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Wählt man als Vektorraum anstelle des den (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen , was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel der positiv definiten Matrizen.

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).