Kugelschicht

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet ${\displaystyle r}$ den Radius der Kugel, ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ die Radien der Begrenzungskreise und ${\displaystyle h}$ die Höhe der Kugelschicht.

Diese vier Größen sind nicht unabhängig voneinander. Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

${\displaystyle h={\sqrt {r^{2}-a_{2}^{2}}}\pm {\sqrt {r^{2}-a_{1}^{2}}}}$

Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.

Auf den Radius zurückzuschließen ist schwieriger, aber auch möglich:

${\displaystyle r={\frac {1}{2h}}{\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h^{2})^{2}-4a_{1}^{2}a_{2}^{2}}}={\frac {1}{2h}}{\sqrt {a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+h^{4}-2a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}h^{2}+2a_{2}^{2}h^{2}}}}$

Volumen	${\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}$
Inhalt der Mantelfläche	${\displaystyle M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h=2\cdot \pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}}$
Oberfläche	${\displaystyle {\begin{aligned}O&=M+A_{{\text{Kreis}}\,1}+A_{{\text{Kreis}}\,2}\\&=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\\&=2\pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}+\pi (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\end{aligned}}}$

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment ${\displaystyle S_{1}}$ mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment ${\displaystyle S_{2}}$ mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei ${\displaystyle h_{1}}$ die Höhe von ${\displaystyle S_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ die Höhe von ${\displaystyle S_{2}}$. Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind

${\displaystyle V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1})}$

${\displaystyle V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})}$

Siehe dazu auch Kugelsegment. Also ist

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}}$

Mit den Beziehungen ${\displaystyle 2\cdot r\cdot h_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2\cdot r\cdot h_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2}}$ (siehe Kugelsegment) ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}}$

Da ${\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}$ ist, folgt die obige Formel: ${\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}$

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

${\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h}$

Beziehung der Parameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Beweis der Beziehung zwischen ${\displaystyle r,a_{1},a_{2},h}$ sei ${\displaystyle d}$ der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt ${\displaystyle M}$. Dann gilt

${\displaystyle r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}}$

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach ${\displaystyle d}$ auf, so erhält man

${\displaystyle d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}}$,

und mit der ersten Gleichung folgt

${\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}$

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Kugelsegment
• Kugelausschnitt
• Kugelring
• Kugelkeil

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
• Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
• L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Eric W. Weisstein: Spherical Segment. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Spherical zone. In: MathWorld (englisch).