Lambertsche W-Funktion

In der Mathematik ist die lambertsche W-Funktion (oder Lambert-W-Funktion), auch Omegafunktion oder Produktlogarithmus, benannt nach Johann Heinrich Lambert, die Umkehrfunktion von

${\displaystyle f\colon x\mapsto x\mathrm {e} ^{x},}$

wobei ${\displaystyle e^{x}}$ die Exponentialfunktion ist. Die lambertsche W-Funktion wird meistens mit ${\displaystyle W(x)}$ bezeichnet. Es gilt

${\displaystyle z=W(z)\mathrm {e} ^{W(z)}=W(z\mathrm {e} ^{z}),z\in \mathbb {C} .}$^[1]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Reellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Funktion ${\displaystyle f}$ auf dem Intervall ${\displaystyle \left(-\infty ,0\right]}$ nicht injektiv ist, besitzt die lambertsche W-Funktion auf dem Intervall ${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{\mathrm {e} }},0\right)}$ zwei Funktionsäste ${\displaystyle W_{0}(x)}$ und ${\displaystyle W_{-1}(x)}$. Mit ${\displaystyle W(x)}$ wird aber in der Regel der obere der Äste bezeichnet.

Die W-Funktion kann nicht als elementare Funktion ausgedrückt werden.

Zumeist wird sie in der Kombinatorik verwendet, beispielsweise zur Auswertung von Bäumen oder zur asymptotischen Bestimmung der Bell-Zahlen.

Die Ableitungsfunktion eines Astes der W-Funktion kann mit Hilfe der Umkehrregel der Differentialrechnung gefunden werden (an der Stelle ${\displaystyle -1/e}$ existiert die Ableitung nicht, ihr Betrag wächst bei hinreichender Annäherung an diese Stelle in jedem Ast über alle Schranken):

${\displaystyle W'(x)={\frac {W(x)}{x(1+W(x))}}{\text{ für }}x>-{\frac {1}{\mathrm {e} }},x\neq 0}$

sowie ${\displaystyle W'_{0}(0)=1}$ für den oberen Ast (der untere Ast ist für ${\displaystyle x\geq 0}$ gar nicht definiert).

Die Ableitungen höherer Ordnung haben die Form

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}W(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}={\frac {(-1)^{n+1}W^{n}(x)}{x^{n}(1+W(x))^{2n-1}}}\cdot P_{n}(W(x)),}$

wobei die ${\displaystyle P_{n}}$ Polynome sind, die sich aus folgender Rekursionsformel berechnen lassen:

${\displaystyle P_{n+1}(t)=(nt+3n-1)\cdot P_{n}(t)-(t+1)\cdot P_{n}'(t),\quad n\geq 1}$

Ausgehend von ${\displaystyle P_{1}(t)=1}$ ergeben sich damit die nächsten drei Ableitungen zu:

${\displaystyle {\begin{aligned}W''(x)&=-{\frac {W^{2}(x)}{x^{2}(1+W(x))^{3}}}\cdot (W(x)+2)\\W^{(3)}(x)&=+{\frac {W^{3}(x)}{x^{3}(1+W(x))^{5}}}\cdot (2W^{2}(x)+8W(x)+9)\\W^{(4)}(x)&=-{\frac {W^{4}(x)}{x^{4}(1+W(x))^{7}}}\cdot (6W^{3}(x)+36W^{2}(x)+79W(x)+64)\end{aligned}}}$

Eine Stammfunktion ergibt sich durch Substitution des ganzen Integranden:

${\displaystyle \int W(x)\,\mathrm {d} x=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C}$

Durch implizites Differenzieren kann man zeigen, dass ${\displaystyle W}$ folgender Differentialgleichung genügt:

${\displaystyle z(1+W){\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} z}}=W\quad {\text{mit }}z\neq -{\frac {1}{e}}}$

Die Taylor-Reihe von ${\displaystyle W}$ um ${\displaystyle x_{0}=0}$ ist durch folgende Formel gegeben:

${\displaystyle W(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\ldots }$

Der Konvergenzradius beträgt ${\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}}$. Folgende zwei Funktionen haben ebenso Taylor-Reihen in diesem Muster:

${\displaystyle {\frac {W(x)}{1+W(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{(n-1)!}}\,x^{n}=x-2x^{2}+{\frac {9}{2}}x^{3}-{\frac {32}{3}}x^{4}+{\frac {625}{24}}x^{5}-\ldots }$

${\displaystyle 1+{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{W(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{(n+1)(n-1)!}}\,x^{n}={\frac {1}{2}}x-{\frac {2}{3}}x^{2}+{\frac {9}{8}}x^{3}-{\frac {32}{15}}x^{4}+{\frac {625}{144}}x^{5}-\ldots }$

Im Komplexen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jedes ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ gibt es einen Zweig ${\displaystyle W_{k}}$ der W-Funktion, wobei ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle k=-1}$ die oben genannten reellen Zweige darstellen. Der Hauptzweig ${\displaystyle W_{0}}$ ist insofern besonders, als er auf der gesamten komplexen Zahlenebene definiert ist; alle anderen Zweige (Nebenzweige) haben eine Definitionslücke bei ${\displaystyle z=0}$. Konkret gilt

${\displaystyle W_{0}(0)=0}$ und

${\displaystyle \lim _{z\to 0}W_{k}(z)=-\infty }$ für alle ${\displaystyle k\neq 0}$.

Dieses Verhalten ist im Diagramm oben für die reellen Fälle exemplarisch ersichtlich.

Die Verzweigungsstelle für den Hauptzweig ist bei ${\displaystyle z=-{\tfrac {1}{e}}}$, die sich über den Rest der negativen Halbachse in Richtung ${\displaystyle -\infty }$ erstreckt. Diese Verzweigung trennt den Hauptzweig von den Nebenzweigen ${\displaystyle W_{-1}}$ und ${\displaystyle W_{+1}}$. Auf den Nebenzweigen beginnt die Verzweigung bereits bei ${\displaystyle z=0}$ und setzt sich wie beim Hauptzweig in Richtung ${\displaystyle -\infty }$ fort.

Alle Zweige sind injektiv und ihre Wertebereiche sind disjunkt. Aufgefasst als Funktion mit zwei Parametern aus ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle \mathbb {C} }$ hat die W-Funktion die gesamte komplexe Zahlenebene als Wertebereich. Das Bild der reellen Achse ist die Vereinigung der reellen Achse mit der Quadratrix des Hippias, der für ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\}}$ definierten parametrischen Kurve ${\displaystyle w(t)=-t\cot t+it}$, wobei man unter ${\displaystyle w(0)}$ den Grenzwert ${\displaystyle \lim _{t\to 0}w(t)=-1}$ versteht, wodurch ${\displaystyle w}$ an der Stelle ${\displaystyle t=0}$ stetig fortgesetzt wird.

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 2}$

${\displaystyle W\left(0\right)=0}$

${\displaystyle W\left(1\right)=0{,}5671432904\dots =:\Omega }$   (die Omega-Konstante)

${\displaystyle W\left(\mathrm {e} \right)=1}$

Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integraldarstellungen der Lambertschen W-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kehrwert des Nachfolgers^[2] von der Lambertschen W-Funktion hat diese Integraldarstellung:

${\displaystyle {\frac {1}{1+W(x)}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\bigl [}x\exp(y)-y{\bigr ]}^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} y}$

Die Lambertsche W-Funktion direkt hat diese^[3][4][5] Integralidentitäten:

${\displaystyle W(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{y^{2}+1}}\ln {\biggl \{}1+{\frac {x\exp {\bigl [}y\operatorname {arccot}(y){\bigr ]}}{{\sqrt {y^{2}+1}}\,\operatorname {arccot}(y)}}{\biggr \}}\,\mathrm {d} y}$

Die kanadischen Mathematiker German Kalugin, David Jeffrey und Robert Corless entdeckten einige Formeln für die Integralrepresentation der Lambertschen W-Funktion und hielten diese Formeln in ihrer gemeinsamen Arbeit Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W fest. Dieser Zusammenhang wurde danach in erweiterter Form von dem ungarischen Mathematiker István Mező entdeckt. Er schrieb in seinem Werk An integral representation for the Lambert W function die Herleitung für die Integraldarstellung der Lambertschen W-Funktion nieder.

Integrale mit der Lambertschen W-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrale von Produkten aus der Lambertschen Funktion und gebrochen rationalen Funktionen:

• ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {8\pi }}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt[{3}]{x}}}}\,\mathrm {d} x=3^{5/3}\,\Gamma ({\tfrac {2}{3}})}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt[{4}]{x}}}}\,\mathrm {d} x=2^{7/2}\,\Gamma ({\tfrac {3}{4}})}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt[{5}]{x}}}}\,\mathrm {d} x=5^{9/5}\,\Gamma ({\tfrac {4}{5}})}$

Dabei wird mit dem ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion zum Ausdruck gebracht.

Verwendung außerhalb der Kombinatorik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die lambertsche W-Funktion kann gebraucht werden, um Gleichungen vom Typus

${\displaystyle a(x)\mathrm {e} ^{a(x)}=y}$

zu lösen (${\displaystyle a(x)}$ ist ein beliebiger, von ${\displaystyle x}$ abhängiger Ausdruck).

Auch die Gleichung

${\displaystyle x^{x}=z}$

kann mit Hilfe der lambertschen W-Funktion gelöst werden. Die Lösung lautet

${\displaystyle x={\frac {\ln z}{W(\ln z)}}=\exp \left(W(\ln z)\right).}$

Der unendliche Potenzturm

${\displaystyle x\uparrow \uparrow \infty :=x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

kann an den konvergenten Stellen mit der W-Funktion in geschlossene Form gebracht werden:

${\displaystyle x\uparrow \uparrow \infty ={\frac {W(\ln {\frac {1}{x}})}{\ln {\frac {1}{x}}}}.}$

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der normalen lambertschen W-Funktion lassen sich die exakten Lösungen „transzendenter algebraischer“ Gleichungen (in x) folgender Form ausdrücken:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-cx}=a_{0}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \quad (1)}$

mit reellen Konstanten ${\displaystyle a_{0},c}$ und ${\displaystyle r}$. Die Lösung ist ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,\mathrm {e} ^{-cr}}{a_{0}}}\right)}$. Verallgemeinerungen der lambertschen W-Funktion umfassen:^[6][7][8]

• Eine Anwendung auf dem Gebiet der allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik (Quantengravitation) in niedrigeren Dimensionen, die eine zuvor unbekannte Verknüpfung zwischen beiden Gebieten aufzeigte, siehe Journal of Classical and Quantum Gravity,^[9] wobei die rechte Seite von Gleichung (1) nun ein quadratisches Polynom in ${\displaystyle x}$ ist:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-cx}=a_{0}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)}$

Hierbei sind ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ voneinander verschiedene reelle Konstanten, die Wurzeln des quadratischen Polynoms. Die Lösung ist eine Funktion allein des Arguments ${\displaystyle x}$, aber ${\displaystyle r_{i}}$ und ${\displaystyle a_{0}}$ sind Parameter dieser Funktion. Insofern ähnelt diese Verallgemeinerung der hypergeometrischen Funktion und der Meijerschen G-Funktion, aber sie gehört zu einer anderen „Klasse“ von Funktionen. Wenn ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$, so können beide Seiten von (2) faktorisiert und auf (1) reduziert werden, sodass sich die Lösung auf die normale lambertsche W-Funktion reduziert. Gleichung (2) entspricht der Gleichung für das „Dilaton“-Feld, von dem die Metrik des „linealen“ Zwei-Körper-Gravitationsproblems in 1 + 1 Dimensionen (eine räumliche und eine zeitliche Dimension) für den Fall ungleicher (Ruhe-)Massen abgeleitet ist, sowie dem Problem der Eigenwertberechnung für das quantenmechanische Doppelminimum-Dirac-Deltafunktions-Modell in einer Dimension und mit „ungleichen“ Ladungen.

• Analytische Lösungen der Energie-Eigenwerte für einen speziellen Fall des quantenmechanischen Analogons des eulerschen Drei-Körper-Problems, nämlich des (dreidimensionalen) Wasserstoffmolekül-Ions.^[10] Hier ist nun die rechte Seite von (1) (oder (2)) das Verhältnis von zwei Polynomen unendlichen Grades in ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-cx}=a_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)}$

mit paarweise verschiedenen reellen Konstanten ${\displaystyle r_{i}}$ und ${\displaystyle s_{i}}$ sowie ${\displaystyle x}$ als Funktion des Energie-Eigenwertes und des Kern-Kern-Abstands ${\displaystyle r}$. Gleichung (3), mit den Spezialfällen (1) und (2), steht in Beziehung zu einer großen Klasse retardierter Differentialgleichungen. Mit Hilfe von Hardys Begriff der „falschen Ableitung“ wurden exakte mehrfache Wurzeln für spezielle Fälle von Gleichung (3) gefunden.^[11] Die Anwendungen der lambertschen W-Funktion auf grundlegende physikalische Probleme sind damit selbst für die normale lambertsche W-Funktion, siehe (1), keineswegs erschöpft. Dies zeigen jüngste Beispiele aus dem Gebiet der Atom- und Molekularphysik^[12] das Keiper-Li-Kriterium für die Riemannsche Vermutung.^[13]

Beziehung zu anderen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hypergeometrische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die W-Funktion steht in direkten Zusammenhang zur verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen. Diese Beziehung wird durch die Gleichungen

${\displaystyle \zeta \left(n\right)={\frac {1}{1-2^{1-n}}}\cdot \operatorname {_{n+1}F_{n}} \left(1,\,a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n};\,a_{1}+1,\,a_{2}+1,\,\dots ,\,a_{n}+1;\,-1\right)\,/;\,a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=1\wedge n-1\in \mathbb {N} }$

und

${\displaystyle \zeta \left(n\right)=\operatorname {_{n+1}F_{n}} \left(1,\,a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n};\,a_{1}+1,\,a_{2}+1,\,\dots ,\,a_{n}+1;\,1\right)\,/;\,a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=1\wedge n-1\in \mathbb {N} }$

klar.^[14]

Fox H-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fox H-Funktion steht im direkten Zusammenhang zur W-Funktion, was durch die Relation

${\displaystyle {\overline {\operatorname {W} _{-1}\left(-\alpha \cdot z\right)}}={\begin{cases}\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{1,\,2}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left({\frac {\alpha +\beta }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\left(0,\,1\right),\,\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{{\frac {\alpha }{\beta }}-1}\right)\right],\,{\text{falls}}\left|z\right|<{\frac {1}{e\left|\alpha \right|}}\\\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{-{\frac {\alpha }{\beta }}}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{2,\,1}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left(1,\,1\right),\,\left({\frac {\beta -\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\right)\right],\,{\text{andernfalls}}\\\end{cases}}}$

deutlich wird, wobei ${\displaystyle {\overline {z}}}$ das komplex-konjugierte ${\displaystyle z}$ ist.^[15]

Numerische Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Folge von Näherungen an die W-Funktion kann rekursiv mithilfe der Beziehung

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}\mathrm {e} ^{w_{j}}-z}{\mathrm {e} ^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}\mathrm {e} ^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}$

berechnet werden.^[16] Alternativ kann auch das Newton-Verfahren zur Lösung der Gleichung ${\displaystyle we^{w}-z=0}$ verwendet werden:

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}\mathrm {e} ^{w_{j}}-z}{\mathrm {e} ^{w_{j}}+\mathrm {e} ^{w_{j}}w_{j}}}}$.

Tabelle reeller Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle W_{0},}$ oberer Zweig:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x&-0{,}3679&-0{,}34&-0{,}2&0&0{,}3&0{,}7&1{,}2&2&3&4&6&10&20&40&+\infty \\\hline y&-1&-0{,}6537&-0{,}2592&0&0{,}2368&0{,}4475&0{,}6356&0{,}8526&1{,}0499&1{,}2022&1{,}4324&1{,}7455&2{,}205&2{,}6968&+\infty \\\end{array}}}$

${\displaystyle W_{-1},}$ unterer Zweig:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x&-0{,}3679&-0{,}365&-0{,}355&-0{,}31&-0{,}25&-0{,}18&-0{,}1&-0{,}05&-0{,}025&-0{,}01&-0{,}005&-0{,}001&-0{,}0001&0\\\hline y&-1&-1{,}1307&-1{,}2912&-1{,}7044&-2{,}1533&-2{,}7128&-3{,}5772&-4{,}4998&-5{,}3696&-6{,}4728&-7{,}284&-9{,}118&-11{,}6671&-\infty \\\end{array}}}$

Andere Werte lassen sich leicht über ${\displaystyle x=y\,\mathrm {e} ^{y}}$ berechnen.

Eine Näherung von ${\displaystyle W_{0}(x)}$ für große ${\displaystyle x}$ ist^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)\approx \ln(x)-\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))/\ln(x).}$

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Wer findet ALLE Lösungen der Gleichung? (ab 0:06:30) auf YouTube
2. ↑ Interesting integral related to the Omega Constant/Lambert W Function. Abgerufen am 20. Dezember 2022 (englisch). 
3. ↑ Webpage of István Mező PhD - Miscellaneous. Abgerufen am 30. Januar 2023. 
4. ↑ Papers with Code - An integral representation for the Lambert W function. Abgerufen am 30. Januar 2023 (englisch). 
5. ↑ David Jeffrey: Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert $ W$. 1. Januar 2011 (academia.edu [abgerufen am 30. Januar 2023]). 
6. ↑ T. C. Scott, R. B. Mann: General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function. In: AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing). 17 Nr. 1, April 2006. S. 41–47. acm.org; Arxiv-Artikel.
7. ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst: Asymptotic series of Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation). 47. Jahrgang, Nr. 185, 2013, S. 75–83 (@1@2Vorlage:Toter Link/www.sigsam.orgsigsam.org (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven)). 
8. ↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang: Numerics of the Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM. 48. Jahrgang, Nr. 188, 2014, S. 42–56 (@1@2Vorlage:Toter Link/www.sigsam.orgsigsam.org (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven)). 
9. ↑ P. S. Farrugia, R. B. Mann, T. C. Scott: N-body Gravity and the Schrödinger Equation. In: Class. Quantum Grav. 24, 2007, S. 4647–4659. doi:10.1088/0264-9381/24/18/006; Arxiv-Artikel.
10. ↑ T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst: New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion. In: Chem. Phys. 324: 2006. S. 323–338. doi:10.1016/j.chemphys.2005.10.031; Arxiv-Artikel.
11. ↑ Aude Maignan, T. C. Scott: Fleshing out the Generalized Lambert W Function. In: SIGSAM. 50. Jahrgang, Nr. 2, 2016, S. 45–60, doi:10.1145/2992274.2992275. 
12. ↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III: The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions. In: Phys. Rev. A. 75:060101, 2007. scitation.aip.org. (Memento vom 17. Juli 2012 im Webarchiv archive.today)
13. ↑ R. C. McPhedran, T.C. Scott, Aude Maignan: The Keiper-Li Criterion for the Riemann Hypothesis and Generalized Lambert Functions. In: ACM Commun. Comput. Algebra. 57. Jahrgang, Nr. 3, 2023, S. 85–110, doi:10.1145/3637529.3637530. 
14. ↑ Riemann zeta function: Representations through more general functions (subsection 26/01/01). Abgerufen am 2. März 2023. 
15. ↑ Pushpa Narayan Rathie and Luan Carlos de Sena Monteiro Ozelim: On the Relation between Lambert W-Function and Generalized Hypergeometric Functions. Abgerufen am 2. März 2023. 
16. ↑ R. M. Corless u. a.: On the Lambert W function. (Memento vom 14. Dezember 2010 im Internet Archive). (PDF; 304 kB). In: Adv. Computational Maths. 5, 1996, S. 329–359.
17. ↑ Eric W. Weisstein: Lambert W-Function. In: MathWorld (englisch).