Multinomialtheorem

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In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf die Summe beliebig vieler Glieder dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Das Multinomialtheorem besagt, dass

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Multinomialkoeffizienten

,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex :

Dabei identifiziert man mit dem Vektor .

Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man

.

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

für alle mit ,

also

.

Das Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt aus, so liest es sich als

.

Beim Ausmultiplizieren der gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form mit . Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt entsteht dadurch, dass aus Klammerausdrücken -mal die Zahl ausgewählt wurde, -mal die Zahl ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade Möglichkeiten.

Formelle Beweise

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Das Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.