Schlichtes Gebiet
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Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Seien stetige Funktionen mit . Dann heißt
(mit reellen Zahlen ) ein Normalbereich bezüglich der -Achse. Analog gilt das im , indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.
Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Das Integrieren einer stetigen Funktion über einem Normalgebiet lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:
Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes errechnet sich durch folgendes Integral:
- .
Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4