Root-Raised-Cosine-Filter

Das Root-Raised-Cosine-Filter, abgekürzt RRC-Filter, ist ein in der digitalen Signalverarbeitung angewandtes elektronisches Filter, welches zur Formung von Signalimpulsen zur Übertragung über einen Kanal, wie beispielsweise einen Funkkanal, verwendet wird.

Das Root-Raised-Cosine-Filter entspricht der Wurzel (engl. root) aus dem Raised-Cosine-Filter und dient dazu, die Charakteristik des Raised-Cosine auf Sender und Empfänger gleichmäßig zu verteilen. Es stellt dann ein so genanntes Matched Filter dar und maximiert im Empfänger das Signal-Rausch-Verhältnis. Eine Besonderheit ist, dass ein Root-Raised-Cosine-Filter für sich alleine Intersymbolinterferenz (ISI) aufweist, das heißt die einzelnen Sendeimpulse „fließen“ am Übertragungskanal zeitlich ineinander. Erst die Kombination der beiden RRC-Filter bei Sender und Empfänger ergeben zusammen über die gesamte Strecke im Idealfall eine ISI-freie Übertragungsstrecke, welche eine zeitliche Unterscheidung der einzelnen Impulse erlaubt. Die einzelnen RRC-Impulse stehen orthogonal zueinander.

Das Root-Raised-Cosine-Filter ist neben dem Gauß-Filter eines der am häufigsten eingesetzten Filter zur Impulsformung bei digitalen Übertragungssystemen.

Der Betragsverlauf der Übertragungsfunktion H_rrc(jω) eines RRC-Filters ist gegeben durch:

${\displaystyle |H_{\mathrm {RRC} }(j\omega )|={\sqrt {|H_{\mathrm {RC} }(j\omega )|}}}$

wobei H_rc(jω) die Übertragungsfunktion des Raised-Cosine-Filters darstellt.

Die Impulsantwort h(t) eines RRC-Filters ist durch den Roll-off-Faktor β, welcher die Bandbreite bestimmt, und die Dauer eines Sendesymbols T_s gekennzeichnet und besitzt folgende Form:

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {T_{s}}}}\left(1-\beta +4{\dfrac {\beta }{\pi }}\right),&t=0\\{\dfrac {\beta }{\sqrt {2T_{s}}}}\left[\left(1+{\dfrac {2}{\pi }}\right)\sin \left({\dfrac {\pi }{4\beta }}\right)+\left(1-{\dfrac {2}{\pi }}\right)\cos \left({\dfrac {\pi }{4\beta }}\right)\right],&t=\pm {\dfrac {T_{s}}{4\beta }}\\{\dfrac {1}{\sqrt {T_{s}}}}{\dfrac {\sin \left[\pi {\dfrac {t}{T_{s}}}\left(1-\beta \right)\right]+4\beta {\dfrac {t}{T_{s}}}\cos \left[\pi {\dfrac {t}{T_{s}}}\left(1+\beta \right)\right]}{\pi {\dfrac {t}{T_{s}}}\left[1-\left(4\beta {\dfrac {t}{T_{s}}}\right)^{2}\right]}},&{\mbox{andernfalls}}\end{cases}}}$

Nachfolgend findet sich eine Beispiel-Implementierung des RRC-Filters in Python mit Hilfe von NumPy, wobei die dafür verwendete Formel aus^[1] entnommen wurde.

import numpy as np   def rrcosfilter(N, beta, Ts, Fs):     """     Erzeugt ein Root-Raised-Cosine-Filter, welches symmetrisch zum Mittelpunkt     verläuft.     Parameter:     -----------     N : int         Anzahl der Filterpunkte.     beta : float         Roll-Off Faktor im Intervall [0, 1].     Ts : float         Die Symbolperiode (inverse der Symbolrate) in Sekunden.     Fs : float         Die Abtastrate in Hertz.     Rückgabe:     -----------     h_rcc : numpy.ndarray         Die Impulsantwort des Filters als NumPy-Array.     """      T_delta = 1/float(Fs)     sample_num = np.arange(N)     h_rrc = np.zeros(N, dtype=float)      for x in sample_num:         t = (x-N/2)*T_delta         if t == 0.0:             scaling = 1/np.sqrt(Ts)             equation = 1-beta+(4*beta/np.pi)             h_rrc[x] = scaling * equation         elif beta != 0 and t == (Ts/(4*beta) or -Ts/(4*beta)):             scaling = beta/np.sqrt(2*Ts)             equation = (1+(2/np.pi))*np.sin(np.pi/(4*beta)) + (1-2/np.pi)*np.cos(np.pi/(4*beta))             h_rrc[x] = scaling * equation         else:             scaling = 1/np.sqrt(Ts)             numerator = np.sin(np.pi*(1-beta)*t/Ts) + (4*beta*t/Ts)*np.cos(np.pi*(1+beta)*t/Ts)             denominator = (np.pi*t/Ts)*(1-np.square(4*beta*t/Ts))             equation = numerator / denominator             h_rrc[x] = scaling * equation     return h_rrc  sample_rrc = rrcosfilter(N=189, beta=0.22, Ts=1e-5, Fs=100e6) 

• John G. Proakis, Masoud Salehi: Communication Systems Engineering. 2. Auflage. Prentice Hall, Upper Saddle River NJ 2002, ISBN 0-13-095007-6. 
• John B. Anderson: Digital Transmission Engineering. 2. Auflage. Wiley-Interscience, 2005, ISBN 0-471-69464-9, S. 26–30. 

1. ↑ John B. Anderson: Digital transmission engineering. Piscataway, New Jersey 2005, ISBN 1-280-31132-0.