Satz von Heine-Borel

Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, nach den Mathematikern Eduard Heine (1821–1881) und Émile Borel (1871–1956) benannt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.

Für eine Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist beschränkt und abgeschlossen.
2. Jede offene Überdeckung von ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ enthält eine endliche Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ anwenden.

Anmerkung und Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Voraussetzung, dass der umgebende Raum der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist, ist wesentlich. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.

Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die diskrete Metrik auf einer unendlichen Menge ${\displaystyle X}$. Sie ist definiert durch

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq y.\end{cases}}}$

In dieser Metrik ist jede Teilmenge von ${\displaystyle X}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt.

Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen normierten Vektorräume.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche vollständig und totalbeschränkt sind. Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist, und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Heine Borel (Video, das einen Beweis des Satzes von Heine-Borel illustriert.)