Stabilitätsgebiet

In der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ist das Stabilitätsgebiet eines Verfahrens zur Lösung eines Anfangswertproblems definiert als die Menge der komplexen Zahlen ${\displaystyle z=\lambda h}$ mit ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle Re(\lambda )<0}$, für die das numerische Verfahren bei der Lösung der dahlquistschen Testgleichung

${\displaystyle y'=\lambda y,\quad Re(\lambda )<0,}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

bei fester Schrittweite ${\displaystyle h}$ eine monoton fallende Folge von Näherungen liefert. Dies impliziert, dass das numerische Verfahren für diese Gleichung und diese Schrittweite stabil ist.

Mit Hilfe der Stabilitätsfunktion eines Verfahrens

${\displaystyle S:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle y_{N}=S(\lambda h)^{N}y_{0}}$

ist das Stabilitätsgebiet daher gegeben durch:

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ |S(z)|<1\}}$

Besonders interessant ist der Fall, wenn das Stabilitätsgebiet die komplette linke Halbebene enthält, dann heißt das Verfahren A-stabil.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das explizite Euler-Verfahren: ${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}$, mit Stabilitätsfunktion: ${\displaystyle S(z)=z+1}$, liegt ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ im Stabilitätsgebiet falls

${\displaystyle |z+1|<1\Leftrightarrow |z+1|^{2}<1\Leftrightarrow z\in \{\xi =(x+iy)\in \mathbb {C} \ |\ (x+1)^{2}+y^{2}<1\}}$

womit das Stabilitätsgebiet allen Punkten im Inneren eines Kreises mit Mittelpunkt ${\displaystyle -1}$ und Radius ${\displaystyle 1}$ in der komplexen Zahlenebene entspricht. Dieses Stabilitätsgebiet ist (wie auch jenes anderer expliziter Verfahren) beschränkt. Daher wird man, auch wenn dies die Genauigkeit gar nicht verlangen würde, zu einer Einschränkung der Schrittweite ${\displaystyle h}$ gezwungen. Dies hat zur Folge, dass implizite Verfahren beim Lösen steifer Differentialgleichungen bevorzugt werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag