Z-Transformation

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich (zyklisch) abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Sie ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Die z-Transformation gilt für Signale im diskreten Zeitbereich (Wertefolgen), während die Laplace-Transformation für entsprechende Berechnungen im kontinuierlichen Zeitbereich dient. (Bezüglich des Zusammenhangs zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation siehe auch: Matched-z-Transformation.)

Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die z-Übertragungsfunktion dient der Systemanalyse, d. h. der Analyse des Systemverhalten bei verschiedenen Anregungen und insbesondere auch der Stabilitätsanalyse. Der Verlauf der Systemausgangsgröße ${\displaystyle y_{(k)}}$ kann bei gegebener Eingangsgröße ${\displaystyle u_{(k)}}$ durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich ${\displaystyle f_{(k)}}$ und dann im Zeitbereich ${\displaystyle f(t)}$ dargestellt werden.

Die z-Transformation wird größtenteils für die digitale Steuer- und Regelungstechnik und zur Berechnung digitaler Filter angewendet. Man kann sie aber auch zur Gewinnung von expliziten Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen einsetzen.

Einführung in die z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geschichtliche Entwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die grundsätzlichen Ideen zur z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurden 1947 von Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.^{[Einzelnachweise 1]}

Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.^{[Einzelnachweise 2][Einzelnachweise 3]}

Die Modifizierte z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.^{[Einzelnachweise 4]}

Bedeutung der z-Transformation und Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der z-Bereich ist eine abstrakte mathematische Welt, die eine Reihe von Eigenschaften hat, die bei Untersuchungen von Systemeigenschaften sehr hilfreich ist (Zitat: Vorlesungsskript Uni Wien).

Abgetastete Signale werden benötigt, wenn Computer zeitinvariante dynamische Systeme und Signale zeitdiskret in Form von Differenzengleichungen berechnen sollen. Dabei geht es meist um die Anwendung für die digitale Regelung und Regelstrecken.

Abgetastete Signale im Abstand ${\displaystyle x(k\cdot T_{\mathrm {A} })}$ können mit Hilfe der z-Transformation mathematisch definiert werden. Die zeitkontinuierliche Beschreibung des abgetasteten Signals als modulierte Impulsfolgen mit ${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots )}$ stellt nur eine mathematische Modellvorstellung dar. Die unendlich hohen und schmalen Dirac-Impulse existieren in Wirklichkeit nicht. In der Realität müssen die zeitlichen Abtastfolgen sehr klein im Verhältnis der Systemzeitkonstanten liegen, anderenfalls wird das Rechenergebnis ungenau. Die rekursiven Differenzengleichungen bilden nur Annäherungen an eine gewünschte Originalfunktion.

Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung, wie die Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Das Verständnis der Anwendung der z-Transformation im Gegensatz zur Laplace-Transformation ist ungleich schwieriger, weil die Abtastung bei Einsatz von Mikrocomputern eine Ein-Ausgangshardware mit Zeitverhalten darstellt. Für die Beschreibung dynamischer Systeme z. B. bei Reglern zur Parametrisierung müssen Regelstrecken identifiziert und Differenzengleichungen gebildet werden.

Die Anwendung der z-Transformation erleichtert die Prozedur der Berechnung der zeitdiskreten Signalfolgen mit Differenzengleichungen zu z-Übertragungsfunktionen. Diese werden mit inverser z-Transformation zurück vom z-Bereich in den k-Bereich der abgetasteten Signale transformiert und liefern damit als Ausgangsgröße Signalfolgen im diskreten Zeitbereich.

Mit Hilfe der z-Transformation können aus systembeschreibenden Differenzengleichungen mit zeitdiskreten Signalen zu z-Übertragungsfunktionen als gebrochen rationale Funktionen berechnet werden, die – ähnlich bei der Laplace-Transformation – durch Pole und Nullstellen das Systemverhalten identifizieren. Damit sind algebraische Operationen mit anderen z-transformierten Systemen und z-transformierten Signalen möglich.

Gleichungen und Eigenschaften der z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die häufig verwendeten z-Transformationsbeziehungen zwischen dem k- und z-Bereich werden in Tabellenform dargestellt und erleichtern damit die Berechnungen (siehe #Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)).

Definitionen der verwendeten Variablen und Parameter:

${\displaystyle X(z)}$ = Signal im Bildbereich; ${\displaystyle z}$ = z-Variable; ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$ = Abtastzeit, ${\displaystyle k}$ = Abtastfolge = Nummerierung eines Folgegliedes, ${\displaystyle n}$ = Zahl bestimmter Abtastschritte, z. B. bei Verschiebungen.

Bilaterale z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die bilaterale z-Transformation eines Signals ${\displaystyle x[k]}$ ist die formale Laurent-Reihe ${\displaystyle X(z)}$:

${\displaystyle X(z)=Z\{x[k]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]z^{-k}}$,

wobei ${\displaystyle k}$ alle ganzen Zahlen durchläuft und ${\displaystyle z}$ im Allgemeinen eine komplexe Zahl der Form:

${\displaystyle z=A\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }=\sigma +\mathrm {j} \omega }$

ist. ${\displaystyle A}$ ist der Betrag von ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle \varphi }$ der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann ${\displaystyle z}$ auch in kartesischer Form als Realteil ${\displaystyle \sigma }$ und Imaginärteil ${\displaystyle \omega }$ beschrieben werden.

Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.

Unilaterale z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Substituiert man in der Beschreibung einer Abtastfolge im Laplace-Bereich den Ausdruck ${\displaystyle \mathrm {e} ^{sT_{\mathrm {A} }}}$ durch ${\displaystyle z}$, so erhält man eine Potenzreihe in ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x[k]\mathrm {e} ^{-skT}=\sum _{k=0}^{\infty }x[k]\cdot z^{-k}=x(0)+x(1)\cdot z^{-1}+x(2)\cdot z^{-2}+\cdots }$

Dabei ist

${\displaystyle z=\mathrm {e} ^{sT_{\mathrm {A} }}}$

Wenn ${\displaystyle x[k]}$ nur nichtnegative ${\displaystyle k}$ Werte hat, kann die unilaterale z-Transformation definiert werden:

${\displaystyle X(z)=Z\{x[k]\}=\sum _{k=0}^{\infty }x[k]\cdot z^{-k}}$

In der Signalverarbeitung wird die unilaterale z-Transformation für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften wie Linearität, Verschiebung, Faltung, Differentiation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Linearität. Die z-Transformierte von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.

${\displaystyle Z({a_{1}x_{1}[k]+a_{2}x_{2}[k]})=a_{1}Z({x_{1}[k]})+a_{2}Z({x_{2}[k]})\!}$

• Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um k nach rechts verschoben, so muss die z-Transformierte mit ${\displaystyle z^{-k}}$ multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.

${\displaystyle Z({x[k-n]})=z^{-n}Z({x[k]})\!}$

${\displaystyle Z({x[k+n]})=z^{n}\left(Z({x[k]})-\sum _{i=0}^{n-1}x[i]z^{-i}\right)}$

• Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.

${\displaystyle Z({x[k]}*{y[k]})=Z({x[k]})Z({y[k]})\!}$

• Differentiation .

${\displaystyle Z({kx[k]})=-z{\frac {\partial Z({x[k]})}{\partial z}}}$

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ${\displaystyle f_{k}=f(k)}$ und ${\displaystyle F(z)}$ deren z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.

${\displaystyle f_{k}\circ \!\!-\!\!\bullet F(z)}$

Dann gelten folgende Regeln:

${\displaystyle {\begin{array}{llcl}{\text{Verschiebungssatz}}&f_{k-n}&\circ \!\!-\!\!\bullet &z^{-n}F(z)\\&f_{k+n}&\circ \!\!-\!\!\bullet &z^{n}(F(z)-\sum _{i=0}^{n-1}f_{i}z^{-i})\\&f_{k+1}&\circ \!\!-\!\!\bullet &z^{1}(F(z)-f_{0})\\&f_{k+2}&\circ \!\!-\!\!\bullet &z^{2}(F(z)-f_{0}-f_{1}z^{-1})\\{\text{Dämpfungssatz}}&a^{-k}\cdot f_{k}&\circ \!\!-\!\!\bullet &F(a\cdot z)\\{\text{Ableitung der Bildfunktion}}&k\cdot f_{k}&\circ \!\!-\!\!\bullet &-z{\frac {\mathrm {d} F(z)}{\mathrm {d} z}}\\{\text{Spektraler}}&W(z)&=&U(z)\cdot V(z)\\{\text{Multiplikationssatz}}&w_{k}&=&\sum _{n=0}^{k}u_{k-n}\cdot v_{n}=\sum _{n=0}^{k}u_{n}\cdot v_{k-n}\\{\text{Differenzensatz}}&\Delta f_{k}&=&f_{k+1}-f_{k}\\&\Delta ^{2}f_{k}&=&\Delta f_{k+1}-\Delta f_{k}=f_{k+2}-2f_{k+1}+f_{k}\\&\Delta ^{2}f_{k}&\circ \!\!-\!\!\bullet &(z-1)^{2}F(z)-z((z-1)f_{0}+\Delta f_{0})\\&\Delta ^{n}f_{k}&\circ \!\!-\!\!\bullet &(z-1)^{n}F(z)-z\sum _{i=0}^{n-1}(z-1)^{n-i-1}\Delta ^{i}f_{0}\\{\text{Summensatz}}&\sum _{n=0}^{k}f_{n}&\circ \!\!-\!\!\bullet &z{\frac {F(z)}{z-1}}\\{\text{1. Grenzwertsatz}}&f_{n}&=&\lim _{z\to \infty }z^{n}\cdot (F(z)-\sum _{k=0}^{n-1}z^{-k}f_{k})\\&f_{0}&=&\lim _{z\to \infty }F(z)\\{\text{2. Grenzwertsatz}}&\lim _{k\to \infty }f_{k}&=&\lim _{z\to 1}(z-1)F(z)\\{\text{Stabilität}}&|z_{PK}|<1&&\rightarrow {\text{asymptotische Stabilität}}\end{array}}}$

Inverse z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die inverse z-Transformation kann mit der Formel

${\displaystyle x[k]=Z^{-1}\{X(z)\}\,=\,{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{C}X(z)z^{k-1}\mathrm {d} z\ }$

berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von ${\displaystyle X(z)}$ liegt.

Die (unilaterale) z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet ${\displaystyle |z|>R}$ und ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }F(z)<\infty }$.

Mit Residuum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle f(0)=\lim _{z\to \infty }F(z)}$,

${\displaystyle f(kT)=\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Res} _{z=z_{i}}(F(z)z^{k-1})}$ für ${\displaystyle k\geq 1}$

Mit Laurent-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Integrand ${\displaystyle F(z)\cdot z^{k-1}}$ wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient −1 der Laurent Reihe, also ${\displaystyle f(k\tau )=A_{-1}}$.

Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle {\frac {z^{k}}{z-1}}\,=\,{\frac {(1+(z-1))^{k}}{z-1}}\,=\,\sum _{n=0}^{k}{k \choose n}1^{k-n}(z-1)^{n-1}\,=\,\sum _{n=-1}^{k-1}{k-1 \choose n+1}1^{k-n}(z-1)^{n}}$,

${\displaystyle A_{-1}\,=\,{k-1 \choose 0}\cdot 1^{k-1}(z-1)^{0}\,=\,1}$.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{zt}}{z-a}}\,=\,{\frac {\mathrm {e} ^{at}}{z-a}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((z-a)t)^{n}}{n!}}\,=\,\mathrm {e} ^{at}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-a)^{n-1}\cdot t^{n}}{n!}}}$,

${\displaystyle A_{-1}\,=\,\mathrm {e} ^{at}{\frac {t^{0}}{0!}}\,=\,\mathrm {e} ^{at}}$.

Bei wesentlicher Singularität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\displaystyle f(k\tau )\,=\,{\frac {1}{k!}}\cdot \left({\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{k}}}f(1/z)\right)_{z=0}}$.

Grundlagen der z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben. Im Gegensatz dazu wird die Laplace-Transformation für kontinuierlichen Signale und Systeme verwendet.

Definition der Formelzeichen und Systemgrößen nachfolgender Systemdarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liste der wichtigsten Formelzeichen und Systemgrößen, die im Folgenden verwendet werden:

Formelzeichen	Erklärung	Bemerkung
${\displaystyle u(t)}$	Eingangssignal	Werden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße des Reglers als ${\displaystyle e(t)}$ (Regelabweichung) bezeichnet. Die Ausgangsgröße des Reglers ${\displaystyle u(t)}$ ist dann gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke.
${\displaystyle y(t)}$	Ausgangssignal	meist Systemantwort, bei Regelkreisen die Regelgröße.
Kleinbuchstaben	Zeitbereich	z. B.: f, u, y
Großbuchstaben	Bildbereich	z. B.: F, U, Y, G
${\displaystyle {T_{\mathrm {A} }},\ {\text{auch}}\ T_{0},\ T}$	Abtastzeit	Zeitlicher Abstand der Abtastungen eines zeitdiskreten Signals. Mit der Frequenz ${\displaystyle f\ =1/{T_{\mathrm {A} }}}$ wird ein kontinuierliches Signal abgetastet.
${\displaystyle \Delta t}$	Zeitintervall	${\displaystyle \Delta t}$ ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. In Verbindung mit Abtastung kann ${\displaystyle \Delta t=T_{\mathrm {A} }}$ sein. ${\displaystyle \Delta t}$ wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet.
${\displaystyle k}$	Abtastfolge	${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots ,\infty )}$ in einer unendlichen oder ${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots ,k_{\mathrm {max} })}$ einer endlichen Folge. ${\displaystyle k}$ wird auch für die Nummerierung der Werte in einer Folge verwendet.
${\displaystyle n,\ auch\ d}$	Abtastschritte	${\displaystyle n=d={\text{Anzahl zusammenhängender Abtastschritte}}}$. (n ist auch eine Bezeichnung für die Potenz der s-Variablen eines Nennerpolynoms)
${\displaystyle f_{(k)}}$	Wertefolge	Eine Folge der Werte: ${\displaystyle f_{(k)}=[f(0),f(T_{\mathrm {A} }),f(2T_{\mathrm {A} }),f(3T_{\mathrm {A} }),\dots ]}$
${\displaystyle f(t)}$	Signal im Zeitbereich	Zeitsignal (allgemein)
${\displaystyle f(k\cdot T_{\mathrm {A} })}$	Zeitdiskretes Signal	Wert des Signals ${\displaystyle f(t)}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle k\cdot T_{\mathrm {A} }}$. Vereinfachte Schreibweise ist z. B. ${\displaystyle u_{(k)}}$ oder ${\displaystyle y_{(k)}}$.
${\displaystyle s=\sigma +\mathrm {i} \omega }$	Laplace Variable
e	Eulersche Zahl	e = Eulersche Zahl ≈ 2,71828.
${\displaystyle F(s)}$	Laplace-Transformiert	Laplace-Transformiertes Signal für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: ${\displaystyle m}$ und Nennergrad: ${\displaystyle n}$
${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}$	Laplace-Transformiert	Laplace-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: ${\displaystyle m}$ und Nennergrad: ${\displaystyle n}$
${\displaystyle z=\mathrm {e} ^{T_{\mathrm {A} }\cdot s}}$	z-Variable
${\displaystyle F(z)}$, ${\displaystyle G(z)}$	z-transformiert	z-transformiertes Signal bzw. z-Übertragungsfunktion für diskrete Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: ${\displaystyle m}$ und Nennergrad: ${\displaystyle n}$
${\displaystyle T}$	Zeitkonstante	Zeitkonstante eines dynamischen Systems. Bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert: ${\displaystyle T_{i}}$

Vergleich der diskreten und der kontinuierlichen Übertragungssysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vergleich	diskretes System	kontinuierliches System
Eigenschaften der betrachteten Systeme	Linear, zeitinvariant, dynamisch Mindestens ein Eingangssignal ${\displaystyle u(t)}$ und ein Ausgangssignal ${\displaystyle y(t)}$
Ein-/Ausgangssignal	reelle Folge, Zeitreihe mit fortlaufendem konstanten Zeitintervalls ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$	kontinuierliches reelles Signal
Systembeschreibung im Zeitbereich	Differenzengleichung	gewöhnliche Differentialgleichungen
Transformation in den Bildbereich	mit z-Transformation	mit Laplace-Transformation
Operator-Schreibweise der Transformation	${\displaystyle F(z)={\mathcal {Z}}\{f_{(k)}\}}$	${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$
Inverse Transformation	${\displaystyle f_{(k)}={\mathcal {Z}}^{-1}\{F(z)\}}$	${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$
Systembeschreibung im Bildbereich	z-Übertragungsfunktion	s-Übertragungsfunktion
Allgemeine Eigenschaften im Bildbereich: Beziehung der Stabilität in der z-Ebene. Stabilität: Pole im Inneren des z-Einheitskreises. Grenzstabilität: Pole auf der z-Kreislinie.	Polstellenanalyse für Übertragungsfunktionen G(s), G(z). Die Übertragungsfunktion wird im Bildbereich als Bruch mit Zähler- und Nennerpolynom dargestellt. Übertragungsfunktion = Ausgangssignal / Eingangssignal = Zählerpolynom / Nennerpolynom Die Auswertung des Nennerpolynoms führt zu Aussagen über die Stabilität des Systems. Stabilitätsgebiet „linke s-Halbebene“ wird in das Innere eines Einheitskreises der z-Ebene transformiert. Einheitskreis mit Radius 1, Ordinate = Imaginärteil von z, Abszisse = Realteil von z. Ablesung: Stabilität, Grenzstabilität, bei Instabilität liegen die Pole außerhalb des Einheitskreises.

Grundlagen Differenzengleichungen für lineare zeitinvariante Systeme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines zeitdiskreten dynamischen Systems können Differenzengleichungen ${\displaystyle y_{(k)}=f({\text{Systemparameter}},k,k-1,\Delta t,u_{(k)})}$ verwendet werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten (der Verlauf der Systemausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ ) für ein gegebenes Eingangssignal ${\displaystyle u(t)}$ im zeitdiskreten Bereich ${\displaystyle f(k\Delta t)}$ berechnen.

Differenzengleichungen entstehen meist aus systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.

Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall ${\displaystyle \Delta t}$ die Signaländerungen nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Teilsystems (Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals. Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall ${\displaystyle \Delta t}$ und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit ${\displaystyle k_{\mathrm {max} }\cdot \Delta t}$.

Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.

Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil nur 4 verschiedene Typen von Differenzengleichungen erster Ordnung existieren, mit denen alle Formen von linearen Übertragungssystemen gebildet werden können, auch solche mit Schwingungsanteilen mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen. Diese Teilsysteme können beliebig multiplikativ, additiv, zurück gekoppelt oder strukturell vermascht sein und gelten sowohl für den s-Bereich wie auch im diskreten Zeitbereich.

Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das Euler-Streckenzugverfahren nach dem Rückwärts- oder Vorwärts-Differenzenquotienten als einfachstes numerisches Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme erster Ordnung der Übertragungsfunktionen ${\displaystyle G(s)}$ Differenzengleichungen gebildet werden, indem z. B. an Stelle des Differenzialquotienten mit ${\displaystyle \mathrm {d} y/\mathrm {d} t}$ der Rückwärts-Differenzenquotient

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}}$

näherungsweise eingeführt wird.

In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei ${\displaystyle t=0}$ für ${\displaystyle y_{(0)}=0}$ und alle Ableitungen von ${\displaystyle y_{(0)}}$ Null sind.

Beispiel der Entwicklung der Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:

Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet: ${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{T_{I}\cdot s}}.}$ Die zugehörige Differenzialgleichung lautet: ${\displaystyle T_{I}\cdot {\dot {y}}(t)=u(t).}$ Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten ${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$ eingesetzt. Anstelle der kontinuierlichen Systemgrößen ${\displaystyle y(t)}$ und ${\displaystyle u(t)}$ treten die aktuellen zeitdiskreten Werte ${\displaystyle y(k\Delta t)=y_{(k)}}$ und ${\displaystyle u(k\Delta t)=u_{(k)}}$: ${\displaystyle T_{I}\cdot {\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{\Delta t}}=u_{(k)}.}$ Damit lautet die nach ${\displaystyle y_{(k)}}$ umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes: ${\displaystyle y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}$ In gleicher Weise können die Differenzengleichungen von Systemen erster Ordnung aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden.

Tabelle der Differenzengleichungen (Euler-Rückwärts) der Elementarsysteme G(s) erster Ordnung

Elementarsysteme	P-Glied	I-Glied	D-Glied	PD1-Glied	PT1-Glied
Übertragungsfunktion	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=K}$	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {1}{T\cdot s}}}$	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=T\cdot s}$	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=K\cdot (T\cdot s+1)}$	${\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {K}{T\cdot s+1}}}$
Differenzengleichungen ${\displaystyle y_{(k)}=\,}$	${\displaystyle K\cdot u_{(k)}}$	${\displaystyle y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}}$	${\displaystyle [u_{(k)}-u_{(k-1)}]\cdot {\frac {T}{\Delta t}}}$	${\displaystyle K_{PD1}\cdot \left[u_{(k)}+(u_{(k)}-u_{(k-1)})\cdot {\frac {T}{\Delta t}}\right]}$	${\displaystyle y_{(k-1)}+[K_{PT1}\cdot u_{(k)}-y_{(k-1)}]\cdot {\frac {\Delta t}{T+\Delta t}}}$

(Mit ${\displaystyle K}$ = Verstärkungsfaktor, ${\displaystyle y_{(k)}}$ = aktuelle Ausgangsgröße, ${\displaystyle y_{(k-1)}}$ = vorherige Ausgangsgröße, ${\displaystyle T}$ = Zeitkonstante, ${\displaystyle u_{(k)}}$ = aktuelle Eingangsgröße)

Die einmalige Anwendung einer Differenzengleichung ${\displaystyle y_{(k)}=f(T,\Delta t,k,k-1,u_{(k)})}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle k\cdot \Delta t}$ ergibt für eine gegebene Eingangsfolge ${\displaystyle u_{(k)}}$ ein Folgeglied der Ausgangsfolge ${\displaystyle y_{(k)}}$. Jedes Folgeglied ${\displaystyle y_{(k)}}$ bezieht sich auf eine zurückliegende Folge ${\displaystyle y_{(k-1)}}$. Deshalb wird eine solche Differenzengleichung als Rekursionsgleichung bezeichnet, weil jedes Folgeglied eine Funktion des vorherigen Folgegliedes ist.

Die rekursive Anwendung von Differenzengleichungen zur Berechnung von Eingangs-Wertefolgen zu Ausgangs-Wertefolgen bedeutet die angenäherte Lösung der systembeschreibenden Differentialgleichung des Systemausgangssignals ${\displaystyle y_{(k)}}$ von Wertefolgen (Berechnungspunkten) ${\displaystyle y_{(k)}=y(0),y(1),y(2),y(3),\dots }$.

Mit Hilfe eines Personal Computers kann das Systemverhalten eines dynamischen Systems oder eines Regelkreises mit Differenzengleichungen vollständig simuliert werden. Dabei wird eine endliche Anzahl ${\displaystyle k_{\mathrm {max} }}$ von Berechnungsfolgen (Wertefolgen) festgelegt und die Rechenergebnisse der Teilsysteme – das Systemverhalten – tabellarisch und grafisch als Berechnungspunkte im Abstand ${\displaystyle \Delta t}$ dargestellt. Die Differenzengleichung enthält bereits die Lösungsvorschrift der Systemausgangsgröße in Annäherung an die systembeschreibende Differentialgleichung.

Handelt es sich bei dem dynamischen System um eine Hardware mit einer im zeitlichen Abstand ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$ abgetasteten Eingangsfolge ${\displaystyle u_{(k)}}$, die über einen Mikrocomputer mit Differenzengleichungen zu einer Ausgangsfolge ${\displaystyle y_{(k)}}$ berechnet wird, kann mit Hilfe eines Haltegliedes eine treppenförmig gestufte quasi kontinuierliche Ausgangsgröße y(t) als Beispiel der prinzipiellen Funktion eines digitalen Reglers erreicht werden. Regelstrecken liegen in der Praxis meist als kontinuierliche Systeme vor, die eine kontinuierliche Stellgröße benötigen.

Differenzengleichungen höherer Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Differenzengleichungen können auch aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen höherer Ordnung entwickelt werden, wenn ab dem Zeitpunkt ${\displaystyle t=kT_{\mathrm {A} }\geq 0}$ die letzten vergangenen Ausgangs-Wertefolgen mit ${\displaystyle k=[-1\to -n]}$ und die Eingangs-Wertefolgen mit ${\displaystyle k=[-1\to -m]}$ bekannt sind.

Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die gewöhnlichen Differenzialgleichungen ${\displaystyle n}$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für ${\displaystyle n\geq m}$ beschrieben. Dabei sind ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle m}$ die höchsten Ableitungen der Ausgangssignale ${\displaystyle y(t)}$ und Eingangssignale ${\displaystyle u(t)}$.

Eine gegebene gewöhnliche Differentialgleichung wird durch den Koeffizienten ${\displaystyle a_{0}}$ dividiert, um ${\displaystyle y(t)}$ freistellen zu können. Diese Form der Differentialgleichung wird entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.

${\displaystyle y(t)+a_{1}{\dot {y}}(t)+a_{2}{\ddot {y}}(t)+\dots +a_{n}y^{(n)}(t)=b_{0}u(t)+b_{1}{\dot {u}}(t)+b_{2}{\ddot {u}}(t)+\dots +b_{m}u^{(m)}(t)}$.

Diese Differentialgleichung kann in eine Differenzengleichung überführt werden:

• ${\displaystyle f(kT_{\mathrm {A} })}$ wird vereinfacht als ${\displaystyle f_{(k)}}$ geschrieben und entspricht einem aktuellen Folgeglied.
• Die kontinuierlichen Systemgrößen ${\displaystyle y(t)\to y_{(k)}}$ und ${\displaystyle u(t)\to u_{(k)}}$ werden zeitdiskret dargestellt.
• Die Ableitungen im Zeitbereich ${\displaystyle \mathrm {d} y/\mathrm {d} t}$ werden entsprechend der Ordnung durch Differenzenquotienten ${\displaystyle \Delta y/\Delta t}$ der zugehörigen Ordnung ersetzt.

Jede Ableitung der Systemgrößen wird im zeitdiskreten Bereich entsprechend der Ordnung als zurückliegende Folgeglieder der Eingangs- und Ausgangsfolgen k-1 bis k-n oder k-m berücksichtigt.

Daraus folgt die Differenzengleichung:

${\displaystyle {y_{(k)}+a_{1}\cdot y_{(k-1)}+a_{2}\cdot y_{(k-2)}+\dots +a_{n}\cdot y_{(k-n)}=b_{0}\cdot u_{(k)}+b_{1}\cdot u_{(k-1)}+b_{2}\cdot u_{(k-2)}+\dots +b_{m}\cdot u_{(k-m)}}}$.

Damit kann die allgemeine Form der Differenzengleichung nach ${\displaystyle y_{(k)}}$ aufgelöst werden:

${\displaystyle {y_{(k)}=b_{0}\cdot u_{(k)}+b_{1}\cdot u_{(k-1)}+b_{2}\cdot u_{(k-2)}+\dots +b_{m}\cdot u_{(k-m)}-a_{1}\cdot y_{(k-1)}-a_{2}\cdot y_{(k-2)}-\dots -a_{n}\cdot y_{(k-n)}}}$.

Für die numerische Berechnung eines dynamischen Systems wird die s-Übertragungsfunktion oder die zugehörige Differentialgleichung benötigt. Die Umsetzung einer systembeschreibenden Differentialgleichung in eine angenäherte Differenzengleichung zur Beschreibung von Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen eines dynamischen Systems wird ermöglicht, wenn die Differentiale der Differentialgleichung durch Rückwärts-Differenzenquotienten über die Abtastperiode ersetzt werden.^{[Einzelnachweise 5]}

Die folgenden Ableitungen der Differentialquotienten in Differenzenquotienten der 1. 2. und 3. Ordnung sind gegeben:

Differenzenquotient 1. Ordnung:

${\displaystyle {\dot {y}}(t)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\approx {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y_{k}}{T_{\mathrm {A} }}}={\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{T_{\mathrm {A} }}}}$

Der Differenzenquotient 2. Ordnung entsteht aus Differenzen der Differenz:

${\displaystyle {\ddot {y}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\approx {\frac {\Delta ^{2}y_{k}}{T_{\mathrm {A} }^{2}}}={\frac {y_{(k)}-2y_{(k-1)}+y_{(k-2)}}{T_{\mathrm {A} }^{2}}}}$

Der Differenzenquotient 3. Ordnung lautet:

${\displaystyle y^{(3)}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{3}y}{\mathrm {d} t^{3}}}\approx {\frac {\Delta ^{3}y_{k}}{T_{\mathrm {A} }^{3}}}={\frac {y_{(k)}-3y_{(k-1)}+3y_{(k-2)}-y_{(k-3)}}{T_{\mathrm {A} }^{3}}}}$

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten in die Differenzengleichung eines dynamischen Systems lassen sich die neuen Koeffizienten aus den Koeffizienten der Differentialgleichung berechnen.

Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines ${\displaystyle PT_{2kk}}$-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:

Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich: ${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{0{,}25s^{2}+0{,}125s+1}}}$ Sprungfunktion: u(t)=1 Gesucht: Differenzengleichung ${\displaystyle y_{(k)}}$ zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens. Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation: ${\displaystyle 0{,}25{\ddot {y}}(t)+0{,}125{\dot {y}}(t)+y(t)=u(t)}$ Die Differenzenquotienten für ${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$ und ${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$ werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt: ${\displaystyle 0{,}25\cdot {\frac {y_{(k)}-2y_{(k-1)}+y_{(k-2)}}{T_{\mathrm {A} }^{2}}}+0{,}125\cdot {\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{T_{\mathrm {A} }}}+y_{k}=u_{k}\quad |\qquad y(t)\to y_{(k)};\ u(t)\to u_{(k)}.}$ Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um ${\displaystyle y_{(k)}}$ freistellen zu können: ${\displaystyle y_{(k)}{\bigg (}{\frac {0{,}25}{T_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {0{,}125}{T_{\mathrm {A} }}}+1{\bigg )}=u_{(k)}+{\frac {0{,}5y_{(k-1)}}{T_{\mathrm {A} }^{2}}}-{\frac {0{,}25y_{(k-2)}}{T_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {0{,}125y_{(k-1)}}{T_{\mathrm {A} }}}.}$ ${\displaystyle y_{(k)}={\frac {u_{(k)}}{\lambda }}+{\frac {0{,}5y_{(k-1)}}{\lambda T_{\mathrm {A} }^{2}}}-{\frac {0{,}25y_{(k-2)}}{\lambda T_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {0{,}125y_{(k-1)}}{\lambda T_{\mathrm {A} }}}\quad {\bigg |}\qquad \lambda ={\frac {0{,}25}{T_{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {0{,}125}{T_{\mathrm {A} }}}+1}$ Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge ${\displaystyle y_{(k)}}$ mit ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }=0{,}01;\quad \lambda =2513{,}5;\quad u_{(k)}=1}$: ${\displaystyle y_{(k=0)}=0{,}0004+0-0+0=0{,}0004}$. ${\displaystyle y_{(k=1)}=0{,}0004+0{,}0008-0+0=0{,}0012}$. ${\displaystyle y_{(k=2)}=0{,}0004+0{,}0024-0{,}0004+0=0{,}0024}$. ${\displaystyle y_{(k=157)}=0{,}0004+3{,}286-1{,}643+0{,}008=1{,}652}$.

Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem digitalen Rechner gelöst werden kann.

Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge ${\displaystyle y_{(k)}}$ durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge ${\displaystyle u_{(k-1)}}$ und ${\displaystyle u_{(k-2)}}$ in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl ${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots ,k_{\text{max}})}$ der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$ und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.

Anwendung zeitdiskreter Signale und dynamischer Systeme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die z-Transformation wird auf zeitdiskrete Signale ${\displaystyle u_{(k)}}$, auf die systembeschreibenden Differenzengleichungen ${\displaystyle y_{(k)}}$ und auf Übertragungsfunktionen des s- und z-Bereiches meist mit Hilfe der Korrespondenztabellen angewendet.

Das nebenstehende Bild ist ein Beispiel der Darstellung der Signalarten und Systeme an einem aufgeschnittenen digitalen Regelkreis mit einer kontinuierlichen Regelstrecke.

Abtastsysteme wandeln in Verbindung mit A/D-Wandlern ein kontinuierliches Signal in ein zeitdiskretes Signal als Wertefolge um. D/A-Wandler in Verbindung mit Haltesystemen nullter Ordnung wandeln eine Wertefolge in ein gestuftes zeitkontinuierliches Signal um.

z-Transformation einer Wertefolge (Impulsfolge)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Wertefolge besteht aus ${\displaystyle k_{\mathrm {max} }}$ oder ${\displaystyle k=\infty }$ vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt. Die abgetasteten und digitalisierten Signale entsprechen einer Folge von modulierten impulsförmigen Signalen ${\displaystyle u(kT_{\mathrm {A} })}$ im Abstand ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$, die erst nach der A/D-Wandlung mit einer Haltestufe zu einem gestuften quasi kontinuierlichem Signal ${\displaystyle u(t)}$ werden.

Die Laplace-Transformation bezieht sich auf die Ableitungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ersetzt diese nach dem Laplace-Differentiationssatz durch die komplexe Variable ${\displaystyle s=\sigma +\mathrm {j} \omega }$. Ein Exponent von s kennzeichnet die Ordnung der Ableitung.

Die z-Transformation transformiert eine Impulsfolgefunktion ${\displaystyle f^{*}(t)}$ oder eine Zahlenfolge ${\displaystyle f_{(k)}}$ in eine Funktion ${\displaystyle F(z)}$ mit der z-Variable ${\displaystyle z=\mathrm {e} ^{T_{\mathrm {A} }\cdot s}}$.

Da die Berechnungen mit Impulsfunktionen oder Folgen aufwendig sind, ist es sinnvoll, diese durch einfachere Berechnungen im z-Bildbereich auszuführen. Die z-Transformation von Impulsfolgen kann als diskrete Laplace-Transformation aufgefasst werden.^{[Einzelnachweise 6]}

Die zu diskreten Zeitpunkten abgetasteten kontinuierlichen Eingangssignale entsprechen mit der Eingangsgröße modulierten (gewichteten) ${\displaystyle \delta }$-Impulsfolgen, die mit der z-Transformation berechnet werden.

Beim Übergang von kontinuierlichen Systemen f(t) zu Abtastsystemen ${\displaystyle f_{(k)}}$ mit der Abtastfolge ${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots )}$ gehen lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen in zeitinvariante Differenzengleichungen der Abtastzeit T_A beziehungsweise der Abtastfrequenz ${\displaystyle f_{TA}=1/T_{\mathrm {A} }}$ der Funktion ${\displaystyle f(kT_{\mathrm {A} })}$ über.

Kontinuierliche Signale z. B. die Regelabweichung ${\displaystyle e(t)}$ eines Regelkreises mit einer analog arbeitenden Regelstrecke werden zu gleichen Zeitabständen ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$ abgetastet. Ein Abtaster mit A/D-Wandler erzeugt aus einem zeitkontinuierlichen Regler-Eingangssignal ${\displaystyle e(t)}$ ein zeitdiskretes Signal ${\displaystyle e_{(k)}}$. Es können sowohl abgetastete Regler-Eingangssignale ${\displaystyle e_{(k)}}$ als auch Differenzengleichungen ${\displaystyle f(k)}$, die im diskreten Zeitbereich den Regelalgorithmus eines Reglers beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung ${\displaystyle f_{(k)}={\mathcal {Z}}^{-1}\{F(z)\}}$ im ${\displaystyle f(k)}$-Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich ${\displaystyle f(k)}$.

Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereiches stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.

Eine einzelne Abtastung eines kontinuierlichen Signals ${\displaystyle u(t)}$ an einer beliebigen Stelle des Signalverlaufs z. B. zum Zeitpunkt ${\displaystyle T_{1}}$ wird als Modulation von ${\displaystyle u(t)}$ mit einem Dirac-Impuls mit ${\displaystyle \delta \cdot (t-T_{1})}$ beschrieben.^{[Einzelnachweise 7][Einzelnachweise 8]}

Damit ergibt sich für die Multiplikation des Eingangssignals ${\displaystyle u(t)}$ mit dem Dirac-Impuls:

${\displaystyle u_{T_{1}}(t)=u(t)\cdot \delta (t-T1)=u(T_{1})\cdot \delta (t-T_{1}).}$

Wird nun periodisch mit zu den Zeitpunkten ${\displaystyle kT_{\mathrm {A} }}$ das Signal ${\displaystyle u(t)}$ abgetastet, kann das abgetastete Signal ${\displaystyle u(kT_{\mathrm {A} })=u_{k}}$ als Multiplikation einer ${\displaystyle \delta }$-Impulsfolge mit ${\displaystyle u(t)}$ betrachtet werden.

Die Impulsfolgefunktion bezieht sich auf die Summengrenzen von ${\displaystyle k=-\infty }$ zu ${\displaystyle k=\infty :}$

${\displaystyle u(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }u(kT_{\mathrm {A} })\cdot \delta (t-kT_{\mathrm {A} }).}$

Mit dem Übergang der Summengrenzen von ${\displaystyle k=0}$ zu ${\displaystyle k=\infty }$ wird die Impulsfolgefunktion:

${\displaystyle u(t)=\left.\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\cdot \delta (t-kT_{\mathrm {A} })\right|_{{\text{mit }}u_{k}=0{\text{ für }}k<0}.}$

Die Impulsfolgefunktion wird der Laplace-Transformation unterzogen:

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}{\Bigl \{}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\cdot \delta (t-kT_{\mathrm {A} }){\Bigr \}}=\int \limits _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\cdot \delta (t-kT_{\mathrm {A} })\cdot \mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t=\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\cdot \mathrm {e} ^{-k\cdot s\cdot T_{\mathrm {A} }}.}$

Mit der z-Variablen ${\displaystyle z=\mathrm {e} ^{s\cdot T_{\mathrm {A} }}}$ und ${\displaystyle z^{-k}=\mathrm {e} ^{-ksT_{\mathrm {A} }}}$ wird die Gleichung vereinfacht zu der z-Transformierten des kontinuierlichen Signals ${\displaystyle u(t)}$.

Mit ${\displaystyle z=\mathrm {e} ^{s\cdot T_{\mathrm {A} }}}$ wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.

Damit lautet die z-Transformation eines abgetasteten kontinuierlichen Signals ${\displaystyle u(t)}$ mit der Folge ${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots )}$ und der Wertefolge ${\displaystyle u(kT_{\mathrm {A} }):=u_{k}=[u_{(0)};u_{(T_{\mathrm {A} })};u_{(2T_{\mathrm {A} })};u_{(3T_{\mathrm {A} })};\cdots ]}$:

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\{u_{(k)}\}=U(z)=\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\cdot z^{-k}}$

oder allgemein als Funktion ${\displaystyle F(z)}$:

${\displaystyle F(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}\cdot z^{-k}}$

Rechenregeln der z-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie die Laplace-Transformation wird die z-Transformation durch Sätze und Rechenregeln definiert, dennoch bestehen in einigen Funktionen große Unterschiede.

Die Transformationen und Rücktransformationen der z-Transformation erfolgen meist mit Hilfe von Transformations-Tabellen. In der Fachliteratur werden in Tabellen die Zeitfunktionen ${\displaystyle f(t)}$, die Laplace-Transformierten ${\displaystyle f(s)}$ und die z-Transformierten ${\displaystyle f(z)}$ dargestellt. Nicht vorhandene Zeitfunktionen für die inverse z-Transformation können wie bei der Laplace-Transformation durch die Partialbruchzerlegung bestimmt werden.

Die Verfahren der Anwendung der Rechenregeln der z-Transformationen sind umfangreich und können in diesem Abschnitt nur angedeutet werden. Die nachstehenden meist tabellarisch aufgeführten Verfahren sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik oder in Vorlesungsmanuskripten der z-Transformation zu finden.

• Diese Rechenregeln beziehen sich auf Linearitätssätze, Multiplikationssatz, Divisionssatz, Ähnlichkeitssätze, Dämpfungssatz, Verschiebungssätze (rechts-links), Differenzensätze (Rückwärts-Vorwärts), Summationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze.
• Die z-Transformationen und die z-Rücktransformationen können mit Hilfe von Transformations-Tabellen und verschiedenen noch dargestellten Verfahren durchgeführt werden.

Die nachfolgenden mathematischen Beziehungen gelten für Systeme mit einem Eingangssignal ${\displaystyle u_{(k)}}$ und einem Ausgangssignal ${\displaystyle y_{(k)}}$. Für einen digitalen Regler müssen die zugehörigen Größen des Eingangssignals ${\displaystyle e_{(k)}}$ und Ausgangssignals ${\displaystyle u_{(k)}}$ in die Gleichungen eingesetzt werden.

Die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation:^{[Einzelnachweise 9]}

• Grundlagen der Definitionen im z-Bereich:

z-Variable:

${\displaystyle z=\mathrm {e} ^{T_{\mathrm {A} }\cdot s}}$

z-Transformierte einer Folge ${\displaystyle f_{(k)}}$:

${\displaystyle F(z)={\mathcal {Z}}\{f_{(k)}\}}$

Inverse z-Transformation von F(z):

${\displaystyle f_{(k)}={\mathcal {Z}}^{-1}\{F(z)\}}$

• Für Grenzbetrachtungen treten häufig folgende Fälle auf:

Für den s-Bildbereich gilt für die s-Variable.

${\displaystyle \lim _{t\to +0}f(t)=\lim _{s\to \infty }s\cdot F(s)}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}s\cdot F(s)}$

Für den z-Bildbereich gilt für die z-Variable:

${\displaystyle f(k=0)=\lim _{z\to \infty }F(z)}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f(k)=\lim _{z\to 1}(z-1)\cdot F(z)}$

• Anfangswert einer zeitdiskreten Folge:

${\displaystyle u(k=0)=\lim _{z\to \infty }U(z)}$

• Rückwärtsverschiebung (nach rechts):

Totzeiten innerhalb eines Digitalreglers entstehen durch die Signalabtastung über A/D-Wandler, D/A-Wandler und durch die Rechenzeit des Mikrocomputers. Die Berechnung einer Totzeit ${\displaystyle T_{t}=d\cdot T_{\mathrm {A} }}$ einer Abtastfolge entspricht einer Rückwärtsverschiebung (Rechtsverschiebung) der Abtastfolge (Zahlenwerte) um d Abtastschritte von ${\displaystyle T_{\mathrm {A} }}$. Diese mathematische Operation bedeutet im s-Bereich für die Totzeit ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-s\cdot T_{t}}}$ und im z-Bereich:

${\displaystyle u_{(k-d)}\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ z^{-d}\cdot U(z)}$

• Vorwärtsverschiebung (nach links):

Eine Vorhersage um die Zeit ${\displaystyle T_{P}=d\cdot T_{\mathrm {A} }}$ einer Wertefolge entspricht einer Vorwärtsverschiebung nach links um d-Abtastschritte. Diese Operation entspricht der Laplace-Transformierten ${\displaystyle \mathrm {e} ^{s\cdot T_{\mathrm {A} }}}$ und bedeutet im z-Bereich:

${\displaystyle u_{(k+d)}\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ z^{d}\cdot U(z)}$

• Differentiation:

Die Differenz zweier aufeinander folgender Abtastwerte dividiert durch die Abtastzeit entspricht der Annäherung an einen Differenzialquotienten im Zeitbereich.

${\displaystyle u_{(k)}-u_{(k-1)}\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ {\frac {z-1}{z}}\cdot U(z)}$

• Integration:

Wird die Summe aller Abtastwerte mit der Abtastzeit T_A multipliziert, entsteht in Annäherung an den Zeitbereich die numerische Integration. Im s-Bereich entspricht die Integration 1 / s. Im z-Bereich gilt für die Integration:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}u_{(i)}\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ {\frac {z}{z-1}}\cdot U(z)}$

• Gewichtsfolge:

Die z-Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge g(k).

${\displaystyle G(z)\ \bullet \!\!-\!\!\circ \ g(k)}$

In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines linearen, zeitdiskreten dynamischen Systems enthalten.

• Multiplikation:

Ausgangssignal als Funktion des Eingangssignals und der z-Übertragungsfunktion

${\displaystyle Y(z)=U(z)\cdot G(z)}$

• Faltung der Impulsfolgen:

${\displaystyle y_{(k)}=\sum _{i=0}^{k}g_{(i)}\cdot u_{(k-i)}}$

Im Bildbereich steht die Multiplikation an Stelle der Faltungssumme, wie bei zeitkontinuierlichen Systemen an Stelle des Faltungsintegrals.

Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

^{[Einzelnachweise 10]}

Funktion im Zeitbereich f(t)	Laplace-Transformierte im Bildbereich F(s)	Diskrete Laplace-Transformierte nach der z-Transformation ${\displaystyle F(z)={\mathcal {Z}}\{F(s)\}}$
δ-Impuls	1	1
Einheits- sprung 1	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$
t	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {T_{\mathrm {A} }\cdot z}{(z-1)^{2}}}}$
${\displaystyle t^{2}}$	${\displaystyle {\frac {2}{s^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {T_{\mathrm {A} }^{2}\cdot z\cdot (z+1)}{(z-1)^{3}}}}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a\cdot t}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s+a}}}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-\mathrm {e} ^{-a\cdot T_{\mathrm {A} }}}}}$
${\displaystyle t\cdot \mathrm {e} ^{-a\cdot t}}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s+a)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{-a\cdot T_{\mathrm {A} }}\cdot T_{\mathrm {A} }\cdot z}{(z-\mathrm {e} ^{-a\cdot T_{\mathrm {A} }})^{2}}}}$
${\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-a\cdot t}}$	${\displaystyle {\frac {a}{s\cdot (s+a)}}}$	${\displaystyle {\frac {(1-\mathrm {e} ^{-a\cdot T_{\mathrm {A} }})\cdot z}{(z-1)\cdot (z-\mathrm {e} ^{-a\cdot T_{\mathrm {A} }})}}}$
${\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-t/T_{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s\cdot (1+T_{1}\cdot s)}}}$	${\displaystyle {\frac {(1-\mathrm {e} ^{-T_{\mathrm {A} }/T_{1}})\cdot z}{(z-1)\cdot (z-\mathrm {e} ^{-T_{\mathrm {A} }/T_{1}})}}}$
${\displaystyle \sin \omega _{0}t}$	${\displaystyle {\frac {\omega _{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {z\cdot \sin(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })}{z^{2}-2z\cdot \cos(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })+1}}}$
${\displaystyle \cos \omega _{0}t}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {z^{2}-z\cdot \cos(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })}{z^{2}-2z\cdot \cos(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })+1}}}$
${\displaystyle 1-(1+at)\mathrm {e} ^{-at}}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{s\cdot (s+a)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}-{\frac {z}{z-c}}-{\frac {acT_{\mathrm {A} }z}{(z-c)^{2}}}\ ;\quad c=\mathrm {e} ^{-aT_{\mathrm {A} }}}$
${\displaystyle 1+{\frac {b\mathrm {e} ^{-at}-a\mathrm {e} ^{-bt}}{a-b}}}$	${\displaystyle {\frac {ab}{s\cdot (s+a)(s+b)}}}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}+{\frac {bz}{(a-b)(z-c)}}-{\frac {az}{(a-b)(z-d)}}}$ ${\displaystyle c=\mathrm {e} ^{-aT_{\mathrm {A} }}\ \quad d=\mathrm {e} ^{-bT_{\mathrm {A} }}}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}\sin \omega _{0}t}$	${\displaystyle {\frac {\omega _{0}}{(s+a)^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {cz\sin(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })}{z^{2}-2cz\cos(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })+c^{2}}}\ ;\quad c=\mathrm {e} ^{-aT_{\mathrm {A} }}}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}\cos \omega _{0}t}$	${\displaystyle {\frac {s+a}{(s+a)^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {z^{2}-cz\cos(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })}{z^{2}-2cz\cos(\omega _{0}T_{\mathrm {A} })+c^{2}}}\ ;\quad c=\mathrm {e} ^{-aT_{\mathrm {A} }}}$
${\displaystyle a^{t/T_{\mathrm {A} }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{s-(1/T_{\mathrm {A} })\ln a}}}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-a}}}$${\displaystyle }$

T_A = Abtastzeit, a oder b = Zahlenwert der Nullstelle (Pol) im s-Bereich, T₁ = Zeitkonstante der s-Übertragungsfunktion.

Tabelle der Korrespondenzen der zeitdiskreten Funktionen f_(k) zum z-Bereich F(z) (Auszüge)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Name der Zeitfunktion	Wertefolge ${\displaystyle f_{(k)}}$	z-Transformierte
${\displaystyle \delta }$-Impulsfolge	${\displaystyle f_{(k)}=[0(-T_{\mathrm {A} }),1(0T_{\mathrm {A} }),0(T_{\mathrm {A} }),0(2T_{\mathrm {A} }),0(3T_{\mathrm {A} }),\dots ]}$	1
Sprungfolge	${\displaystyle f_{(k)}=[0(-T_{\mathrm {A} }),1(0T_{\mathrm {A} }),1(T_{\mathrm {A} }),1(2T_{\mathrm {A} }),1(3T_{\mathrm {A} }),\dots ]}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$
Anstiegsfolge	${\displaystyle u_{(k)}=[-u_{1}(-T_{\mathrm {A} }),u_{0}(0T_{\mathrm {A} }),u_{1}(T_{\mathrm {A} }),u_{2}(2T_{\mathrm {A} }),u_{3}(3T_{\mathrm {A} }),\dots ]}$ ${\displaystyle k=[-1,0,1,2,3,\dots ]}$	${\displaystyle {\frac {z}{(z-1)^{2}}}}$
Potenzfolge	${\displaystyle a^{k}}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-a}}}$
e-Funktionsfolge	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-ak}}$	${\displaystyle {\frac {z}{z-\mathrm {e} ^{-a}}}}$
Sinusfunktionsfolge	${\displaystyle \sin(ak)}$	${\displaystyle {\frac {z\cdot \sin a}{z^{2}-2z\cdot \cos a+1}}}$
Kosinusfunktionsfolge	${\displaystyle \cos(ak)}$	${\displaystyle {\frac {z\cdot (z-\cos a)}{z^{2}-2z\cdot \cos a+1}}}$
Abklingende Sinus- funktionsfolge	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-ak}\cdot \sin(bk)}$	${\displaystyle {\frac {z\cdot \mathrm {e} ^{-a}\cdot \sin b}{z^{2}-2z\cdot \mathrm {e} ^{-a}\cdot \cos \ b+\mathrm {e} ^{-2a}}}}$
Abklingende Cosinus- funktionsfolge	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-ak}\cdot \cos(bk)}$	${\displaystyle {\frac {z\cdot (z-\mathrm {e} ^{-a}\cdot \cos b)}{z^{2}-2z\cdot \mathrm {e} ^{-a}\cdot \cos \ b+\mathrm {e} ^{-2a}}}}$
Linearitätssatz	× × €4.95 / month Favourites List Audio Listining Color Mode Monthly New Updates Fullname * Email * Credit or debit card Subscribe A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 68 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 68 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once "> Subscribe Now Premium lidmaatschap × €4.95 € 9.90 / maand Maak snel en eenvoudig een Premium Account Sla uw favoriete pagina's op Luister naar elke pagina in Audio Kleur nachtmodus Maak een account aan Modal title × Close Save changes Annuleer abonnement × Z-Transformation" id="cancelSubscription" name="cancelSubscription" class="mb-0"> Weet je zeker dat je je lidmaatschap bij ons wilt opzeggen? A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: user_membership Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 208 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php Line: 208 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once "> Ja Annuleren Doorgaan met abonnement Harry Potter Books × A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: products Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php Line: 315 Function: require_once