Κλειστότητα

Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της κλειστότητας σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα σύνολο ως έξης:

Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο.

Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:^[1]

Έστω ένα σύνολο ${\displaystyle S}$, μία δυαδική πράξη ${\displaystyle \cdot }$ στο σύνολο (δηλαδή ${\displaystyle \cdot :S\times S\to S}$) και ένα σύνολο ${\displaystyle H\subseteq S}$. Τότε το ${\displaystyle (H,\cdot )}$ ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν

${\displaystyle \forall a,b\in H.a\cdot b\in H}$.

Τότε λέμε ότι το ${\displaystyle H}$ είναι κλειστό ως προς την πράξη ${\displaystyle \cdot }$.^[2]

• Το ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)}$ δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο αντίστροφο.
• Το ${\displaystyle (\mathbb {N} ,-)}$ δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους δεν ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα ${\displaystyle 3-5=-2}$, που δεν ανήκει στο ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• Έστω ${\displaystyle H=\{2k:k\in \mathbb {N} \}}$, το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και ${\displaystyle +}$ η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το ${\displaystyle (H,+)}$ ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
• Έστω ${\displaystyle H=\{k^{3}:k\in \mathbb {N} \}}$, το σύνολο των κύβων φυσικών αριθμών και ${\displaystyle +}$ η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το ${\displaystyle (H,+)}$ δεν ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ. ${\displaystyle 1^{3}+2^{3}=9}$ που δεν είναι κύβος).
• Εξ ορισμού σε κάθε μονοειδές, ομάδα, σώμα, δακτύλιο, το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.