Φέλιξ Κλάιν

Φέλιξ Κλάιν
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη
μητρική γλώσσα		Felix Christian Klein (Γερμανικά)
Γέννηση25  Απριλίου 1849[1][2][3]
Ντύσσελντορφ[4][5][2]
Θάνατος22  Ιουνίου 1925[6][7][8]
Γκέτινγκεν[9][5][2]
Τόπος ταφήςνεκροταφείο του Γκέτινγκεν (51°31′56″ s. š., 9°54′35″ v. d.)[10] και Γκέτινγκεν
Χώρα πολιτογράφησηςΒασίλειο της Πρωσίας
Γερμανική Αυτοκρατορία (1871–1918)
Δημοκρατία της Βαϊμάρης (από 1918)
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσεςΓερμανικά[11][12]
ΣπουδέςΠανεπιστήμιο της Βόννης
Πανεπιστήμιο Χούμπολτ[13]
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότηταμαθηματικός
ιστορικός των μαθηματικών[14]
διδάσκων πανεπιστημίου
πολιτικός
εκδότης (από 1872)[15][16]
ΕργοδότηςΠανεπιστήμιο Φρειδερίκου και Αλεξάνδρου των Έρλανγκεν-Νυρεμβέργης (1872–1875)[15]
Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Μονάχου (1875–1880)[17]
Πανεπιστήμιο της Λειψίας (1880–1886)
Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν (1886–1913)[18][19]
Πολυτεχνείο του Βερολίνου[20]
Αξιοσημείωτο έργοErlangen program
Φιάλη του Κλάιν
Beltrami–Klein model
Klein's Encyclopedia of Mathematical Sciences
Mathematische Annalen (από 1872)[15]
Οικογένεια
ΣύζυγοςAnna Klein
Στρατιωτική σταδιοδρομία
Πόλεμοι/μάχεςΓαλλοπρωσικός πόλεμος
Αξιώματα και βραβεύσεις
Αξίωμαμέλος της Βουλής των Κυρίων της Πρωσίας (1908–1918)
ΒραβεύσειςΜετάλλιο Κόπλυ (1912)[21]
Τάγμα της Αξίας για τις Τέχνες και Επιστήμες
μετάλλιο Ντε Μόργκαν (1893)
Ackermann–Teubner Memorial Award (1914)[15]
Βαυαρικό Μαξιμιλιανό Τάγμα για τις Επιστήμες και Τέχνες (1898)
αλλοδαπό μέλος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου (10  Δεκεμβρίου 1885)[22]
Commons page Σχετικά πολυμέσα
δεδομένα

Ο Κρίστιαν Φέλιξ Κλάιν (γερμανικά: Christian Felix Klein‎‎, 25 Απριλίου 1849 – 22 Ιουνίου 1925) ήταν Γερμανός μαθηματικός, γνωστός για το έργο του στη θεωρία ομάδων, τη μιγαδική ανάλυση, τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες και στις σχέσεις μεταξύ γεωμετρίας και θεωρίας ομάδων. Το «Πρόγραμμα του Ερλάνγκεν» που δημιούργησε το 1872 για την ταξινόμηση των γεωμετριών κατά τις βασικές ομάδες συμμετρίας τους υπήρξε μια επιδραστική σύνθεση μεγάλου μέρους των μαθηματικών της εποχής του.

Η ζωή του

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ο Κλάιν όταν ήταν καθηγητής στη Λείψια.

Ο Φ. Κλάιν γεννήθηκε στο Ντίσελντορφ[23] από Πρώσους γονείς. Ο πατέρας του, ο Κάσπαρ Κλάιν (1809-1889), ήταν γραμματέας αξιωματούχου της πρωσικής κυβερνήσεως στην Επαρχία του Ρήνου. Μητέρα του ήταν η Σοφί Ελίζε Κλάιν (1819-1890), το γένος Κάυζερ (Kayser).[24] Πήγε γυμνάσιο στο Ντίσελντορφ και μετά σπούδασε μαθηματικά και φυσική στο Πανεπιστήμιο της Βόννης[25] (1865-1866), με πρόθεση να γίνει φυσικός. Εκεί κατείχε τότε κοινή έδρα «Μαθηματικών και πειραματικής φυσικής» ο Γιούλιους Πλύκερ, ο οποίος είχε το ενδιαφέρον του στη γεωμετρία όταν ο Κλάιν έγινε βοηθός του το 1866. Ο Κλάιν πήρε το διδακτορικό του υπό την επιβλεψη του Πλύκερ από το Πανεπιστήμιο της Βόννης το 1868.

Ο Πλύκερ απεβίωσε το ίδιο έτος, αφήνοντας ημιτελές το βιβλίο του για τη γραμμομετρία. Ο Κλάιν ήταν το προφανές πρόσωπο για την ολοκλήρωση του β΄ μέρους του έργου του Πλύκερ Neue Geometrie des Raumes και εξ αυτού γνωρίστηκε με τον Άλφρεντ Κλεμπς, που είχε μετακληθεί στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν το 1868. Ο Κλάιν τον επισκέφθηκε το επόμενο έτος, κατά το οποίο επισκέφθηκε επίσης το Βερολίνο και το Παρίσι. Τον Ιούλιο του 1870, όταν ξέσπασε ο Γαλλοπρωσικός Πόλεμος, βρισκόταν πάλι στο Παρίσι και υποχρεώθηκε να εγκαταλείψει τη χώρα. Υπηρέτησε για λίγο ως νοσοκόμος στον πρωσικό στρατό και μετά διορίσθηκε λέκτορας στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, στις αρχές του 1871.

Το επόμενο έτος διορίσθηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Ερλάνγκεν, σε ηλικία μόλις 23 ετών.[26] Αιτία ήταν ο Κλεμπς, που θεωρούσε τον Κλάιν ως πιθανό μελλοντικά καλύτερο μαθηματικό της εποχής του. Ωστόσο ο Κλάιν δεν επιθυμούσε να μείνει στο Ερλάνγκεν, καθώς είχε λίγους φοιτητές, και έτσι ευχαριστήθηκε όταν τού προσφέρθηκε θέση καθηγητή στο Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Μονάχου το 1875. Εκεί, μαζί με τον Αλεξάντερ φον Μπριλ δίδαξαν προχωρημένα μαθήματα σε πολλούς εξαίρετους φοιτητές, μεταξύ των οποίων στους Άντολφ Χούρβιτς, Βάλτερ φον Ντυκ, Καρλ Ρούνγκε, Μαξ Πλανκ, Λουίτζι Μπιάνκι και Γκρεγκόριο Ρίτσι-Κουρμπάστρο.

Το 1875 ο Κλάιν νυμφέυθηκε την Άννε Χέγκελ, εγγονή του μεγάλου φιλοσόφου Γκέοργκ Βίλχελμ Φρήντριχ Χέγκελ (Εγέλου).[27]

Μετά από πέντε έτη στο Μόναχο, ο Κλάιν διορίσθηκε σε μία έδρα γεωμετρίας στη Λειψία. Εκεί ήρθε ως συνάδελφός του πλέον ο πρώην φοιτητής του Βάλτερ φον Ντυκ. Τα χρόνια του Κλάιν στη Λειψία, από το 1880 έως το 1886, άλλαξαν τη ζωή του. Το 1882 η υγεία του κατέρρευσε και το 1883-1884 υπέφερε από κατάθλιψη.[28] Ωστόσο συνέχισε τις έρευνές του: το έργο του πάνω στις υπερελλειπτικές συναρτήσεις σ χρονολογείται από τότε.

Το 1886 ο Κλάιν αποδέχθηκε μια θέση καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Εκεί παρέμεινε πλέον μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1913, επιδιώκοντας να επανέλθει το ίδρυμα στη θέση του κυριότερου κέντρου μαθηματικών ερευνών παγκοσμίως. Στο Γκέτινγκεν δίδαξε ποικιλία μαθημάτων με έμφαση στη μαθηματική φυσική, όπως η θεωρητική μηχανική και η θεωρία δυναμικού.

Η οργάνωση της έρευνας από τον Κλάιν στο Γκέτινγκεν χρησίμευσε ως πρότυπο για τα καλύτερα ερευνητικά κέντρα του κόσμου. Εισήγαγε εβδομαδιαίες συναντήσεις για συζήτηση και δημιούργησε βιβλιοθήκη και μαθηματικό αναγνωστήριο. Το 1895 ο Κλάιν προσέλαβε τον Ντάβιντ Χίλμπερτ από το Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ, που διετήρησε την καλή φήμη του Γκέτινγκεν μέχρι τη δική του αποχώρηση το 1932.

Υπό την αρχισυνταξία του Κλάιν το περιοδικό Mathematische Annalen (που είχε ιδρύσει ο Κλεμπς) έγινε ένα από τα κορυφαία ερευνητικά περιοδικά μαθηματικών στον κόσμο. Ο Κλάιν οργάνωσε μία μικρή ομάδα επιμελητών του, που συσκέπτονταν τακτικά, λαμβάνοντας δημοκρατικά αποφάσεις. Το περιοδικό ειδικευόταν στη μιγαδική ανάλυση, στην αλγεβρική γεωμετρία και στη θεωρία των αναλλοιώτων. Παρείχε επίσης σημαντική στήριξη στην πραγματική ανάλυση και στη νέα θεωρία των ομάδων.

Το 1893 στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο στο Σικάγο ο Κλάιν ήταν βασικός ομιλητής.[29] Το ίδιο έτος, εν μέρει εξαιτίας των προσπαθειών του Κλάιν, το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν άρχισε να δέχεται και γυναίκες ως φοιτήτριες. Ο ίδιος επέβλεψε την πρώτη διδακτορική διατριβή στα μαθηματικά που εκπονήθηκε ποτέ από γυναίκα στο Πανεπιστήμιο αυτό: ήταν η διατριβή της Αγγλίδας Γκρέις Γιανγκ.

Περί το 1900 ο Κλάιν άρχισε να ενδιαφέρεται για τη διδασκαλία των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση και το 1905 ήταν αποφασιστική η συμβολή του στην εκπόνηση σχεδίου που συνιστούσε τη διδασκαλία στα γυμνάσια-λύκεια της αναλυτικής γεωμετρίας, εισαγωγικών στοιχείων του απειροστικού λογισμού και της έννοιας της συναρτήσεως.[30][31] Αυτή η σύσταση υιοθετήθηκε βαθμιαία σε πολλές χώρες. Το 1908 ο Κλάιν εκλέχθηκε πρόεδρος της Διεθνούς Επιτροπής Διδακτικής των Μαθηματικών στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ρώμη.[32] Υπό την καθοδήγησή του, το γερμανικό τμήμα της Επιτροπής αυτής δημοσίευσε πολλούς τόμους επί της διδακτικής των μαθηματικών σε όλα τα επίπεδα.

Το 1893 η Μαθηματική Εταιρεία του Λονδίνου απένειμε στον Κλάιν την υψηλότερη τιμητική της διάκριση, το Μετάλλιο Ντε Μόργκαν. Ο Κλάιν είχε ήδη εκλεγεί το 1885 μέλος της Βασιλικής Εταιρείας, η οποία του απένειμε το Μετάλλιο Κόπλεϋ το 1912. Μετά την αποχώρησή του από το πανεπιστήμιο το 1913, ο Κλάιν συνέχισε να διδάσκει μαθηματικά στο σπίτι του για κάποια χρόνια ακόμη. Απεβίωσε στο Γκέτινγκεν σε ηλικία 76 ετών.

Το έργο του

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Γυάλινη Φιάλη του Κλάιν φυσημένη στο χέρι

Η διατριβή του Κλάιν, επί της γραμμομετρίας και των εφαρμογών της στη μηχανική, ταξινομούσε δευτεροβάθμια συστήματα γραμμών με χρήση της θεωρίας των στοιχειωδών διαιρετών του Βάιερστρας.

Οι πρώτες σημαντικές συνεισφορές του Κλάιν έγιναν το 1870. Σε συνεργασία με τον Σόφους Λι ανεκάλυψε τις θεμελιώδεις ιδιότητες των ασύμπτωτων της επιφάνειας Κούμερ. Αργότερα μελέτησαν τις Καμπύλες W, που είναι αναλλοίωτες υπό μία ομάδα προβολικών μετασχηματισμών. Ο Λη γνώρισε στον Κλάιν την έννοια της ομάδας, που θα διεδραμάτιζε μείζονα ρόλο στο μετέπειτα έργο του. Ο Κλάιν έμαθε για τις ομάδες και από τον Καμίγ Ζορντάν.[33]

Ο Κλάιν επινόησε το 1882 τη γνωστή ως «Φιάλη του Κλάιν», μία κλειστή επιφάνεια με μόνο μία πλευρά, η οποία είναι αδύνατον να ενσωματωθεί στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο, αλλά μπορεί να γυρίσει ως κύλινδρος μέσα από τον εαυτό της, ώστε να ενωθεί με το άλλο άκρο της «εκ των έσω». Μπορεί επίσης να ενσωματωθεί σε ευκλείδειους χώρους με διαστάσεις 4 ή περισσότερες. Η έννοια της Φιάλης του Κλάιν επινοήθηκε ως τριδιάστατη Λωρίδα του Μέμπιους.[34]

Κατά τη δεκαετία του 1890 ο Κλάιν άρχισε να μελετά εντονότερα μαθηματική φυσική, γράφοντας μία εργασία πάνω στο γυροσκόπιο με τον Άρνολντ Σόμμερφελντ.[35] Το 1894 είχε την ιδέα μιας εγκυκλοπαίδειας των μαθηματικών και των εφαρμογών τους, που υλοποιήθηκε ως Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, γνωστή και ως «Εγκυκλοπαίδεια του Κλάιν». Αυτό το εγχείρημα, που διάρκεσε έως το 1935, παρέσχε μία σημαντική πρότυπη αναφορά διαχρονικής αξίας.[36]

Επιλεγμένα έργα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. ↑ 1,0 1,1 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας. data.bnf.fr/ark:/12148/cb11909828m. Ανακτήθηκε στις 30  Δεκεμβρίου 2019.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 (Ιταλικά) www.accademiadellescienze.it. Felix-Klein. Ανακτήθηκε στις 1  Δεκεμβρίου 2020.
  3. ↑ 3,0 3,1 mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Klein/.
  4. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 10  Δεκεμβρίου 2014.
  5. ↑ 5,0 5,1 «Большая советская энциклопедия» (Ρωσικά) Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια. Μόσχα. 1969. Ανακτήθηκε στις 28  Σεπτεμβρίου 2015.
  6. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 9  Απριλίου 2014.
  7. ↑ «Большая советская энциклопедия» (Ρωσικά) Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια. Μόσχα. 1969. Ανακτήθηκε στις 27  Σεπτεμβρίου 2015.
  8. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας. data.bnf.fr/ark:/12148/cb11909828m. Ανακτήθηκε στις 10  Οκτωβρίου 2015.
  9. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γερμανίας: (Γερμανικά) Gemeinsame Normdatei. Ανακτήθηκε στις 30  Δεκεμβρίου 2014.
  10. ↑ 10,0 10,1 (Αγγλικά) Find A Grave. Ανακτήθηκε στις 17  Μαΐου 2024.
  11. ↑ Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας. data.bnf.fr/ark:/12148/cb11909828m. Ανακτήθηκε στις 10  Οκτωβρίου 2015.
  12. ↑ CONOR.SI. 11646307.
  13. ↑ Ανακτήθηκε στις 8  Ιουλίου 2019.
  14. ↑ «Revue d'Histoire des Sciences: la revue pluridisciplinaire de l'histoire des sciences». (Γαλλικά) Revue d'Histoire des Sciences. Presses universitaires de France. 1982. σελ. 78-79.
  15. ↑ 15,0 15,1 15,2 15,3 timenote.info/de/Felix-Klein.
  16. ↑ www.springer.com/journal/208.
  17. ↑ www-hm.ma.tum.de/geschichte/node18.html.
  18. ↑ www.universalis.fr/encyclopedie/felix-klein/.
  19. ↑ Klein.
  20. ↑ Ανακτήθηκε στις 3  Ιουλίου 2019.
  21. ↑ «Award winners : Copley Medal». (Αγγλικά) Βασιλική Εταιρεία. Ανακτήθηκε στις 30  Δεκεμβρίου 2018.
  22. ↑ catalogues.royalsociety.org/CalmView/Record.aspx?src=CalmView.Persons&id=NA5396&pos=1.
  23. ↑ Snyder, Virgil (1922). «Klein's Collected Works». Bulletin of the American Mathematical Society 28 (3): 125–129. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183425933. 
  24. ↑ Rüdiger Thiele (2011). Felix Klein in Leipzig: mit F. Kleins Antrittsrede, Leipzig 1880 (στα Γερμανικά). σελ. 195. ISBN 978-3-937219-47-9. 
  25. ↑ Halsted, George Bruce (1894). «Biography: Felix Klein». The American Mathematical Monthly 1 (12): 416–420. doi:10.2307/2969034. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1894-12_1_12/page/416. 
  26. ↑ Ivor Grattan-Guinness, επιμ. (2005). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940. Elsevier. σελ. 546. 
  27. ↑ Chislenko, Eugene; Tschinkel, Yuri (2007). «The Felix Klein Protocols». Notices of the American Mathematical Society 54 (8): 960-970. http://www.ams.org/notices/200708/tx070800960p.pdf. 
  28. ↑ Reid, Constance (1996). Hilbert (στα Αγγλικά). Νέα Υόρκη: Springer-Verlag. σελ. 19. ISBN 9781461207399. 
  29. ↑ Case, Bettye Anne, επιμ. (1996). «Come to the Fair: The Chicago Mathematical Congress of 1893 by David E. Rowe and Karen Hunger Parshall». A Century of Mathematical Meetings. American Mathematical Society. σελ. 64. 
  30. ↑ Gary McCulloch· David Crook, επιμ. (2013). The Routledge International Encyclopedia of Education. Routledge. σελ. 373. ISBN 978-1-317-85358-9. 
  31. ↑ Alexander Karp· Gert Schubring, επιμ. (2014). Handbook on the History of Mathematics Education. Springer Science & Business Media. σελίδες 499–500. ISBN 978-1-4614-9155-2. 
  32. ↑ Alexander Karp· Gert Schubring, επιμ. (2014). Handbook on the History of Mathematics Education. Springer Science & Business Media. σελ. 503. ISBN 978-1-4614-9155-2. 
  33. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Φέλιξ Κλάιν», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Klein.html .
  34. ↑ Numberphile (2015-06-22), Klein Bottles - Numberphile, https://www.youtube.com/watch?v=AAsICMPwGPY, ανακτήθηκε στις 2017-04-26 
  35. ↑ Werner Burau; Bruno Schoeneberg (2008). «Klein, Christian Felix». Dictionary of Scientific Biography. http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830902326.html. Ανακτήθηκε στις 4 Δεκεμβρίου 2014. 
  36. ↑ Ivor Grattan-Guinness (2009). Routes of Learning: Highways, Pathways, Byways in the History of Mathematics. Johns Hopkins University Press. σελίδες 44, 45, 90. ISBN 0-8018-9248-1. 
  37. ↑ Cole, F. N. (1892). «Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen von Felix Klein, Erste Band». Bull. Amer. Math. Soc. 1 (5): 105–120. doi:10.1090/S0002-9904-1892-00049-3. http://www.ams.org/journals/bull/1892-01-05/S0002-9904-1892-00049-3/S0002-9904-1892-00049-3.pdf. 
  38. ↑ White, Henry S. (1894). «Review: The Evanston Colloquium: Lectures on Mathematics by Felix Klein». Bull. Amer. Math. Soc. 3 (5): 119-122. doi:10.1090/s0002-9904-1894-00190-6. http://www.ams.org/journals/bull/1894-03-05/S0002-9904-1894-00190-6/S0002-9904-1894-00190-6.pdf. 
  39. ↑ 39,0 39,1 Hutchinson, J.I. (1903). Review: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen von Robert Fricke & Felix Klein, Erste Band & Zweiter Band. 9, σελ. 470–492. http://www.ams.org/journals/bull/1903-09-09/S0002-9904-1903-01020-9/S0002-9904-1903-01020-9.pdf. 
  40. ↑ Bôcher, Maxime (1902). «Review: Gauss' wissenschaftlichen Tagebuch, 1796—1814. Mit Anwendungen von Felix Klein». Bull. Amer. Math. Soc. 9 (2): 125–126. doi:10.1090/s0002-9904-1902-00959-2. http://www.ams.org/journals/bull/1902-09-02/S0002-9904-1902-00959-2/S0002-9904-1902-00959-2.pdf. 
  41. ↑ Thompson, Henry Dallas (1899). «Review: Mathematical Theory of the Top by Felix Klein». Bull. Amer. Math. Soc. 5 (10): 486–487. doi:10.1090/s0002-9904-1899-00643-8. http://www.ams.org/journals/bull/1899-05-10/S0002-9904-1899-00643-8/S0002-9904-1899-00643-8.pdf. 
  42. ↑ Scott, Charlotte Angas (1896). «Review: Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie von Felix Klein». Bull. Amer. Math. Soc. 2 (6): 157–164. doi:10.1090/s0002-9904-1896-00328-1. http://www.ams.org/journals/bull/1896-02-06/S0002-9904-1896-00328-1/S0002-9904-1896-00328-1.pdf. 
  43. ↑ Smith, David Eugene (1928). Review: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert von Felix Klein. Erste Band. 34, σελ. 521–522. http://www.ams.org/journals/bull/1928-34-04/S0002-9904-1928-04589-5/S0002-9904-1928-04589-5.pdf. 
  44. ↑ Allen, Edward Switzer (1929). «Three books on non-euclidean geometry». Bull. Amer. Math. Soc. 35: 271–276. doi:10.1090/S0002-9904-1929-04726-8. 

Βιβλιογραφία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • 1887: «The arithmetizing of mathematics» στο From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, επιμ. William B. Ewald, 2 τόμοι, Oxford Univ. Press, 1996, σσ. 965-971
  • 1921: Felix Klein gesammelte mathematische Abhandlungen, επιμ. R. Fricke και A. Ostrowski, Springer, Βερολίνο, 3 τόμοι (online στο GDZ)
  • 1890: Nicht-Euklidische Geometrie

Παραπέρα διάβασμα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  • Enriques, Federigo: «L'oeuvre mathematique de Klein» στο Scientia (1921)
  • David Mumford, Caroline Series, David Wright: Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein, Cambridge Univ. Press, 2002
  • Rowe, David: "Felix Klein, David Hilbert, and the Göttingen Mathematical Tradition", στο «Science in Germany: The Intersection of Institutional and Intellectual Issues», επιμ. Kathryn Olesko, Osiris, τόμ. 5 (1989), σσ. 186-213
  • Tobies, Renate (με τον Fritz König): Felix Klein, Teubner Verlag, Λειψία 1981

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Φέλιξ_Κλάιν&oldid=10679974"