Función biyectiva

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

${\displaystyle \forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y}$

Es decir, para todo ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle Y}$ se cumple que existe un único ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, tal que la función evaluada en ${\displaystyle x}$ es igual a ${\displaystyle y}$.

Dados dos conjuntos finitos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, entonces existirá una biyección entre ambos si y solo si ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ tienen el mismo número de elementos.

Si ${\displaystyle f\,}$ es una función real biyectiva, entonces su función inversa ${\displaystyle f^{-1}\,}$ existe y también es biyectiva.

La función:

${\displaystyle f(x)=\alpha x+\beta \,,}$ con ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-\beta }{\alpha }}\,}$

también lo es.

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver que la función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva:

Función	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva
No sobreyectiva

Asientos y alumnos en una sala de clase

En una clase hay un determinado número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la clase y el profesor les pide a todos que se sienten. Después de hacer una rápida observación de la sala de clase, el profesor declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de estudiantes y la cantidad de asientos, donde cada estudiante está emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:

1. Todos los estudiantes estaban sentados (nadie estaba de pie),
2. Ningún estudiante estaba sentado en más de un asiento,
3. Cada asiento estaba ocupado (no había asientos vacíos)
4. Ningún asiento estaba ocupado por más de un estudiante.

El profesor, gracias a esa observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de estudiantes, sin tener que contar la cantidad de asientos.

Dados dos conjuntos ${\displaystyle \scriptstyle A}$ y ${\displaystyle \scriptstyle B}$, entre los cuales existe una función biyectiva ${\displaystyle \scriptstyle f:A\to B}$ tienen cardinales que cumplen

${\displaystyle {\mbox{card}}(A)={\mbox{card}}(B)\,}$

Se define un homeomorfismo (no confundir con homomorfismo ) como una aplicación entre dos espacios topológicos verificando ser una transformación biyectiva y bicontinua.^[1]​

• Correspondencia matemática
• Biyección, inyección y sobreyección