Un cuadrilátero con la denominación de sus elementos característicos En geometría , la fórmula de Bretschneider es una expresión que permite calcular el área de un cuadrilátero general:
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d ⋅ cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}} = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 2 a b c d [ 1 + cos ( α + γ ) ] . {\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.} Aquí, a b c d s semiperímetro , y α γ
Se cumple en cualquier cuadrilátero, ya sea cíclico o no.
El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. También fue deducida ese mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt .
Si se denomina K al área del cuadrilatero, entonces se tiene que
K = área de △ A D B + área de △ B D C = a d sen α 2 + b c sen γ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{área de }}\triangle ADB+{\text{área de }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\operatorname {sen} \alpha }{2}}+{\frac {bc\operatorname {sen} \gamma }{2}}.\end{aligned}}} Por lo tanto
2 K = ( a d ) sen α + ( b c ) sen γ . {\displaystyle 2K=(ad)\operatorname {sen} \alpha +(bc)\operatorname {sen} \gamma .} 4 K 2 = ( a d ) 2 sen 2 α + ( b c ) 2 sen 2 γ + 2 a b c d sen α sen γ . {\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +(bc)^{2}\operatorname {sen} ^{2}\gamma +2abcd\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \gamma .} La ley del coseno implica que
a 2 + d 2 − 2 a d cos α = b 2 + c 2 − 2 b c cos γ , {\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,} porque ambos lados equivalen al cuadrado de la longitud de la diagonal BD
( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 cos 2 α + ( b c ) 2 cos 2 γ − 2 a b c d cos α cos γ . {\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .} Añadiendo esto a la fórmula superior por 4K 2 , resulta
4 K 2 + ( a 2 + d 2 − b 2 − c 2 ) 2 4 = ( a d ) 2 + ( b c ) 2 − 2 a b c d cos ( α + γ ) = ( a d + b c ) 2 − 2 a b c d − 2 a b c d cos ( α + γ ) = ( a d + b c ) 2 − 2 a b c d ( cos ( α + γ ) + 1 ) = ( a d + b c ) 2 − 4 a b c d ( cos ( α + γ ) + 1 2 ) = ( a d + b c ) 2 − 4 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}} Nótese que cos 2 α + γ 2 = 1 + cos ( α + γ ) 2 {\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}} α + γ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}
Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta , se puede escribir como
16 K 2 = ( a + b + c − d ) ( a + b − c + d ) ( a − b + c + d ) ( − a + b + c + d ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) . {\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).} Introduciendo el semiperímetro
s = a + b + c + d 2 , {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},} lo anterior se convierte en
16 K 2 = 16 ( s − d ) ( s − c ) ( s − b ) ( s − a ) − 16 a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle 16K^{2}=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)} K 2 = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)} y la fórmula de Bretschneider se deduce después de sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d ⋅ cos 2 ( α + γ 2 ) {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}} La fórmula de Bretschneider generaliza la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico , que a su vez generaliza la fórmula de Herón para el área de un triángulo .
El ajuste trigonométrico en la fórmula de Bretschneider para la no ciclicidad del cuadrilátero se puede reescribir de forma no trigonométrica en términos de los lados y las diagonales e y f para dar[ 1] [ 2]
K = 1 4 4 e 2 f 2 − ( b 2 + d 2 − a 2 − c 2 ) 2 = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 4 ( a c + b d + e f ) ( a c + b d − e f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}} ↑ J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", American Mathematical Monthly JSTOR ) ↑ E. W. Hobson : A Treatise on Plane Trigonometry . Cambridge University Press, 1918, pp. 204-205 Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems . Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639 E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry . Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy ) C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German ) F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German ) 
![{\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a2fdb98ed6e71c98f8dee380c3e1318d9e4a7)
Datos: Q537518