Diferentes gráficas de la función poligamma a lo largo del eje x . En naranja, para m =0, en amarillo, para m =1, en verde, para m =2, en rojo, para m =3 y en azul para m =4. En matemática , la función poligamma de orden m se define como la (m+1) -ésima derivada del logaritmo de la función gamma :
ψ ( m ) ( x ) = ( d d x ) m ψ ( x ) = ( d d x ) m + 1 log Γ ( x ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{m}\psi (x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{m+1}\log \Gamma (x)} donde
ψ ( x ) = ψ 0 ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) {\displaystyle \psi (x)=\psi ^{0}(x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}} es la función digamma .
Representaciones [ editar ] Representación en forma de integral [ editar ] La función poligamma puede ser representada en forma de integral como
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 ∫ 0 ∞ t m e − z t 1 − e − t d t {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt} que se cumple para Re z >0 y m > 0. Para m = 0 véase la definición de función digamma .
Relación de recurrencia [ editar ] Esta tiene la siguiente relación de recurrencia
ψ ( m ) ( z + 1 ) = ψ ( m ) ( z ) + ( − 1 ) m m ! z − ( m + 1 ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.} Teorema de multiplicación [ editar ] El teorema de multiplicación proporciona la siguiente fórmula
k m ψ ( m − 1 ) ( k z ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( m − 1 ) ( z + n k ) {\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)} para m > 1 {\displaystyle m>1} , y, para m = 0 {\displaystyle m=0} , se obtiene la función digamma :
k ( ψ ( k z ) − log ( k ) ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( z + n k ) . {\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).} Representación en forma de series [ editar ] La función poligamma tiene la siguiente representación en forma de serie
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) m + 1 {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}} que se cumple para m > 0 y cualquier número complejo z que no sea igual a un número negativo . Esta representación puede ser escrita de manera más compacta en términos de la función zeta de Hurwitz como
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).} Alternativamente, la función zeta de Hurwitz puede ser entendida como la generalización de la función poligamma a un orden no entero arbitrario.
Una serie más se puede permitir a las funciones poligamma. como la dada por Oskar Schlömilch ,
1 / Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z / n {\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}} . Este es un resultado del teorema de factorización de Weierstrass . Por lo tanto, la función gamma puede ser definida ahora como:
Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}} De esta manera, el logaritmo natural de la función gamma es fácilmente representable:
ln Γ ( z ) = − γ z − ln ( z ) + ∑ n = 1 ∞ ( z n − ln ( 1 + z n ) ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln(1+{\frac {z}{n}})\right)} Finalmente, se llega a una representación en forma de sumatorio para la función poligamma:
ψ ( n ) ( z ) = d n + 1 d z n + 1 ln Γ ( z ) = − γ δ n 0 − ( − 1 ) n n ! z n + 1 + ∑ k = 1 ∞ ( 1 k δ n 0 − ( − 1 ) n n ! ( k + z ) n + 1 ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}\;+\;\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}\;-\;{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)} Donde δ n 0 {\displaystyle \delta _{n0}} es la delta de Kronecker .
Serie de Taylor [ editar ] La serie de Taylor en z = 1 es
ψ ( m ) ( z + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) m + k + 1 ( m + k ) ! ζ ( m + k + 1 ) z k k ! , {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},} que converge para todo |z | < 1. Aquí, ζ es la función zeta de Riemann . Esta serie se deriva de la correspondiente serie de Taylor para la función zeta de Hurwitz. Esta serie se puede utilizar para obtener un número de series zeta racionales .
Véase también [ editar ] Referencias [ editar ] Enlaces externos [ editar ]