En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las medidas geométricas y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.
Medida Sea un espacio medible. Una medida sobre es una aplicación (véase: recta real extendida) que verifica: - La medida del conjunto vacío es cero:
.
-aditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas. ![{\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\cap A_{m}=\emptyset \,\,\forall n\neq m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f960948bb126e0fa2f5d90783e79c16eeb6cb960) .
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La terna
se denomina espacio de medida.
- Medida contadora: la terna
es un espacio de medida, donde:
. - donde
denota el número de elementos de
.
- Medida de Dirac: fijado un elemento
la terna
es un espacio de medida, donde:
.
- Medida de Lebesgue: definida en
, (donde
es la
-álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en
.
Propiedades[editar]
Propiedades de las medidas - Aditividad finita:
![{\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \,\,\forall i\neq j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcda3f8c91fb1043f4f133a04621629dcde4af6) ![{\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})\quad \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2deea1465857dc12f64856a40a81bd187b2424f1)
- Monotonía:
![{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}:A\subset B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fdc06756d62c9eb97f9fea2a4f5a00948fdf4d) ![{\displaystyle \Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e8bbcf037190220d24318e3b75a76b9ddd75ff)
- Continuidad creciente:
![{\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\subseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe201441adc1acc160bc4e49c0b73f2f488ca4a) ![{\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902110f01fd2c313d474ceb97dd158a35770333d)
- Continuidad decreciente:
![{\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\supseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} \,\,\land \,\,\mu (A_{1})<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20564f5edca407f995279d127abd2f9ef91ff7b) ![{\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c370b527a41e621612003b6221de103e3b8d850)
-subaditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos (no necesariamente disjuntos) es menor o igual a la suma de las medidas. ![{\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2deb4ed7be58aaf1824e1423c336d814fa7fde46) .
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Medida exterior[editar]
Toda medida definida en
es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.
El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas:
Además, si
, entonces
(y naturalmente
), lo que implica que
es un espacio de medida completo.
Véase también[editar]
Referencias[editar]
Bibliografía[editar]
- Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
- Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
- A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
- Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.