Medida sigma-finita

En teoría de la medida, una medida sigma-finita (${\displaystyle \sigma }$-finita) de un cierto espacio de medida es una medida tal que el espacio se puede obtener como unión numerable de conjuntos de medida finita. Trabajar sobre espacios medibles equipados con una medida ${\displaystyle \sigma }$-finita es interesante, pues hay muchos resultados que trabajan sobre ellos, trayendo consigo consecuencias importantes, como por ejemplo, el Teorema de Fubini.

Sea ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)}$ un espacio de medida. Se dice que ${\displaystyle \mu }$ es una medida ${\displaystyle \sigma }$-finita (o simplemente diremos que ${\displaystyle \mu }$ es ${\displaystyle \sigma }$-finita) si

${\textstyle \displaystyle X=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\;,\,{\text{donde }}\left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {A}}{\text{ con }}\mu \left(A_{n}\right)<\infty \;,\forall n\geq 1}$

Así, si ${\displaystyle \mu }$ es ${\displaystyle \sigma }$-finita, diremos que el espacio ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)}$ es un espacio de medida ${\displaystyle \sigma }$-finito.^[1]​

1. El espacio ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)}$ es un espacio ${\displaystyle \sigma }$-finito, donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right)}$ es la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Borel sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, y ${\displaystyle \lambda }$ es la medida de Lebesgue sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. En efecto, denotemos a la bola abierta centrada en ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ y radio ${\displaystyle r>0}$ por ${\displaystyle B\left(x,r\right)=\left\{y\in \mathbb {R} \colon ||x-y||<r\right\}}$, donde ${\displaystyle ||\cdot ||}$ denota la norma euclidiana sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Como sobre ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{d},\tau _{\mathbb {R} ^{d}}\right)}$ se tiene que una base para la topología ${\displaystyle \tau _{\mathbb {R} ^{d}}}$ es la familia formada por bolas abiertas, tenemos que, existe ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}=\bigcup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}B(x,r)}$, teniendo que ${\displaystyle \lambda \left(B(x,r)\right)<\infty }$. Por tanto, ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{d}\right),\lambda \right)}$ es un espacio ${\displaystyle \sigma }$-finito.

1. ↑ Cohn, Donald L. (2013). Measure theory (en inglés). Springer.