Árbol de clasificación Se dice que una operación matemática es una operación externa en una operación binaria si la aplicación entre los conjuntos es de la forma:
⋆ : B × A → A {\displaystyle \star :\;B\times A\to A\;} , ley de composición externa a la izquierda ⋆ : A × B → A {\displaystyle \star :\;A\times B\to A\;} , ley de composición externa a la derecha [ 1] ⋆ : A × A → B {\displaystyle \star :\;A\times A\to B\;} ⋆ : A × B → C {\displaystyle \star :\;A\times B\to C\;} , siendo ⋆ {\displaystyle \star } la operación binaria, que representamos:
a ⋆ b → c , ⋆ ( a , b ) → c , ( a , b ) → ⋆ c {\displaystyle a\star b\;\to \;c\;,\quad \star (a,b)\;\to \;c\;,\quad (a,b)\;{\xrightarrow {\star }}\;c} por oposición a la forma de la aplicación:
⊚ : A × A ⟶ A ( a , b ) ⟼ c = a ⊚ b {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}} Donde a cada par ordenado (a,b) le corresponde un c , siendo a , b y c elementos de A . Que se denomina Operación interna o ley de composición interna.
Primer caso [ editar ] Dada una Operación binaria de la forma:
⋆ : B × A ⟶ A ( k , a ) ⟼ b = k ⋆ a {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&B\times A&\longrightarrow &A\\&(k,a)&\longmapsto &b=k\star a\end{array}}} donde a cada par ordenado :
( k , a ) ∈ B × A {\displaystyle (k,a)\in B\times A\;} se le asocia un elemento
b ∈ A {\displaystyle b\in A} En este caso se denomina ley de composición externa a la izquierda ; los elementos de B, son para los elementos de A,operadores o multiplicadores a la izquierda.[ 2]
Tomando el conjunto R de números reales, y el conjunto V3 de los vectores de tres dimensiones, y la operación del producto de un escalar por un vector:
⋅ : R × V 3 ⟶ V 3 ( k , a → ) ⟼ b → = k ⋅ a → {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\cdot :&\mathbb {R} \times V_{3}&\longrightarrow &V_{3}\\&(k,{\vec {a}})&\longmapsto &{\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}\end{array}}} donde un vector:
a → = ( x , y , z ) {\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)} multiplicado por un escalar k de R :
b → = k ⋅ a → = k ⋅ ( x , y , z ) = ( k x , k y , k z ) {\displaystyle {\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}=k\cdot (x,y,z)=(kx,ky,kz)} Tercer caso [ editar ] Dada una operación binaria de la forma:
⋆ : A × A ⟶ B ( a , b ) ⟼ c = a ⋆ b {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}} donde a cada par ordenado:
( a , b ) ∈ A 2 {\displaystyle (a,b)\in A^{2}\;} le corresponde un elemento:
c ∈ B {\displaystyle c\in B} también es una operación externa.
Dado el conjunto V3 de vectores en el espacio y el conjunto R de números reales, y la aplicación Producto escalar de vectores:
∘ : V 3 × V 3 ⟶ R ( a → , b → ) ⟼ c = a → ∘ b → {\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&V_{3}\times V_{3}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&({\vec {a}},{\vec {b}})&\longmapsto &c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}\end{array}}} Cuya operación representamos:
a → ∘ b → = c {\displaystyle {\vec {a}}\circ {\vec {b}}=c} dados los vectores:
a → = ( a x , a y , a z ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})} b → = ( b x , b y , b z ) {\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})} el producto escalar de los dos vectores es:
c = a → ∘ b → = ( a x , a y , a z ) ∘ ( b x , b y , b z ) = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ b z {\displaystyle c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}=(a_{x},a_{y},a_{z})\circ (b_{x},b_{y},b_{z})=a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}} que es un valor real.
La diferencia de números naturales es una operación externa, dado que los operandos naturales el resultado siempre será un entero.
− : N × N ⟶ Z ( a , b ) ⟼ c = a − b {\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}} En la forma de la operación:
c = a − b {\displaystyle c=a-b\;} Para todo par ordenado (a,b) de números naturales, a su diferencia le corresponde un número c , entero, siendo c = a-b , es una aplicación matemática.
Véase también [ editar ] Referencias [ editar ] ↑ Dubreil et al. Lecciones de álgebra moderna. Editorial reverté. Barcelona. ↑ P. Dubreil and M.L. Dubreil- Jacotin. Lecciones de álgebra moderna. Editorial Reverté S.A. Barcelona Enlaces externos [ editar ]