No debe confundirse con
π , número irracional ≈ 3,141592..
Letra pi mayúscula, notación del productorio. El productorio o productoria , también conocido como multiplicatorio , multiplicatoria , producto o infrecuentemente pitatoria o pitatorio (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).
La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:
Para todos los valores m < n
∏ k = m n a k = a m ⋅ a m + 1 ⋅ … ⋅ a n {\displaystyle \prod _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n}} Si m = n tenemos que:
m = n , ∏ k = m n a k = ∏ k = m m a k = a m {\displaystyle m=n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m}} En el caso de que m sea mayor que n , m > n , se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:
m > n , ∏ k = m n a k = 1 {\displaystyle m>n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=1} Se puede definir por inducción como sigue.
1. Se define
∏ k = 1 1 a k = a 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}} 2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define
∏ k = 1 n + 1 a k = ( ∏ k = 1 n a k ) a n + 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)a_{n+1}} Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n =1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:
∏ k = 1 2 a k = ( ∏ k = 1 1 a k ) ( a 2 ) = a 1 a 2 {\displaystyle \prod _{k=1}^{2}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)(a_{2})=a_{1}a_{2}} Definida para n =2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n =2 para luego obtener
∏ k = 1 3 a k = ( ∏ k = 1 2 a k ) ( a 3 ) = ( a 1 a 2 ) a 3 {\displaystyle \prod _{k=1}^{3}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{2}a_{k}\right)(a_{3})=(a_{1}a_{2})a_{3}} Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto ( a 1 a 2 ) a 3 {\displaystyle {\mathit {(a_{1}a_{2})a_{3}}}\,\!} a 1 ( a 2 a 3 ) {\displaystyle {\mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})}}\,\!}
a 1 a 2 a 3 = ∏ k = 1 3 a k {\displaystyle a_{1}\,a_{2}\,a_{3}=\prod _{k=1}^{3}a_{k}} Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n ! (n factorial ) como sigue:
∏ k = 1 n k = n ! {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k=n!} Se define 0 ! = 1 ! = 1 {\displaystyle 0!=1!=1}
Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.
Propiedad Multiplicativa [ editar ] ∏ k = 1 n ( a k b k ) = ( ∏ k = 1 n a k ) ( ∏ k = 1 n b k ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)} Demostración por Inducción i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad
∏ k = 1 1 ( a k b k ) = a 1 b 1 = ( ∏ k = 1 1 a k ) ( ∏ k = 1 1 b k ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{({a_{k}}{b_{k}})}=a_{1}b_{1}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{1}b_{k}\right)} y la igualdad es cierta para n =1
ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n +1
∏ k = 1 n + 1 ( a k b k ) = [ ∏ k = 1 n ( a k b k ) ] ( a n + 1 b n + 1 ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}\right](a_{n+1}b_{n+1})} ∏ k = 1 n + 1 ( a k b k ) = ( ∏ k = 1 n a k ) ( ∏ k = 1 n b k ) a n + 1 b n + 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)a_{n+1}b_{n+1}} (Definición por inducción)
∏ k = 1 n + 1 ( a k b k ) = [ ( ∏ k = 1 n a k ) ( a n + 1 ) ] [ ( ∏ k = 1 n b k ) ( b n + 1 ) ] {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]} (Asociatividad en IR) Luego,
∏ k = 1 n + 1 ( a k b k ) = ( ∏ k = 1 n + 1 a k ) ( ∏ k = 1 n + 1 b k ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}b_{k}\right)} ∏ k = 1 n a k a k − 1 = a n a 0 , si cada a k ≠ 0 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}},\quad {\text{si cada}}\;a_{k}\neq 0} Demostración por Inducción
i) Analicemos para n =1
∏ k = 1 1 a k a k − 1 = a 1 a 0 , con: a 0 ≠ 0 y la igualdad es cierta para: n = 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{1}}{a_{0}}},\quad {\text{con:}}\;a_{0}\neq 0\;{\text{y la igualdad es cierta para:}}\;n=1} ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n +1
∏ k = 1 n + 1 a k a k − 1 = ( ∏ k = 1 n a k a k − 1 ) ( a n + 1 a n ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\right)\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)} (Definición por inducción) Luego,
∏ k = 1 n + 1 a k a k − 1 = a n a 0 a n + 1 a n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}} que es lo que queríamos demostrar.
Nótese que nuestra exigencia era que para cada k {\displaystyle {\mathit {k}}\,\!} a k ≠ 0 {\displaystyle a_{k}\neq 0} k = n {\displaystyle {\mathit {k=n}}\,\!} a k = a n ≠ 0 {\displaystyle a_{k}=a_{n}\neq 0}
∏ k = 1 n + 1 a k a k − 1 = a n + 1 a 0 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{0}}}} 
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6ccaf8a58252c04b17c0417a1d1020e44ec260)
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ee83da0ae058ace3c52d02f4b07afa4a1cf250)
Datos: Q58623169