La relación Faber-Jackson es una temprana y empírica ley potencial que establece la relación entre la luminosidad
y la dispersión de velocidades
de las estrellas centrales de una de una galaxia elíptica para el cálculo de su distancia. Está dada por:
![{\displaystyle L=C\times \sigma ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0bee25f9b8eec817aa88ffb4f962593df8b2488)
Fue establecida por vez primera por los astrónomos Sandra M. Faber y Robert Earl Jackson en 1976.
El potencial de un gas de Radio R y masa M con densidad constante está dado por:
![{\displaystyle U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5663b7cd3ec86d2db3a069d0ade94b51915f6e)
La energía cinética se puede representar como:
![{\displaystyle K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ed3a7bbe56a30f07173213f831aebe35ba62a4)
Por el Teorema de virial
se tiene:
para una masa M virializada.
Si se supone que la relación masa-luminosidad es constante
, entonces:
![{\displaystyle M\propto L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ee527c6f7de0889e3528c1a5fa07823adf1978)
Despejando M e igualando:
![{\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214b986335b69ed4bdcd698b5480ebb5dab1d1ef)
entonces:
![{\displaystyle R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1670538b5f2fca0c96dcbcc42ff4051382733652)
Suponiendo el mismo brillo superficial:
, entonces: ![{\displaystyle L=4\pi R^{2}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c14e4e3eaa15feb25df84aaf22cae8e62ffcd6)
sustituyendo:
![{\displaystyle L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64d97b827c0b1afd7598481758df9b9942da1c4)
desarrollando:
![{\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7492e7be06b557c474a75dd6cd0c1982457b296a)
es decir:
![{\displaystyle L\propto \sigma ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9f7fad8abd39fe307e6e453aa93f11b168a290)
o
![{\displaystyle L=C\times \sigma ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0bee25f9b8eec817aa88ffb4f962593df8b2488)