El teorema de Euler sobre funciones homogéneas es una caracterización de las funciones homogéneas.
Una función
se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario
:
- Si una función
es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:
![{\displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}+z{\frac {\partial f}{\partial z}}=kf}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64cac9dd0b7c572d266605a5f7309df4e27d2357)
- Es decir, de manera más simplificada:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=kf}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209e6ea233bc98c65d1b9f41efafc2ba490191e1)
Demostración[editar]
Escribiendo
y
![{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e8c036d477cdba024d647203c8e05877d31de3)
diferenciando la ecuación con respecto a
encontramos, aplicando la regla de la cadena, que
![{\displaystyle {\frac {\partial f(\alpha \mathbf {x} )}{\partial \alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )\right)\qquad \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99d6ff0c1002f700427d0d891f42aff70c91aeb)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af77d166286e13fe5412432a7087c312cd05524c)
Así que:
![{\displaystyle x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe80ad755ba24c7e8f31fb0c62eb5a6e26f2c3c)
En concreto, eligiendo
, la anterior ecuación puede reescribirse como:
,
lo cual prueba el resultado.
Para una demostración del recíproco, ver [1].
- Supongamos que
es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden
son funciones homogéneas de grado k-1.
Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo
y diferenciado la ecuación
con respecto a
, encontramos por la regla de la cadena que:
Y por tanto:
Y finalmente:
Aplicaciones del teorema[editar]
Aplicaciones en termodinámica[editar]
Si la función de estado termodinámica es:
- Homogénea de grado 1: función de variables extensivas :
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ebd4caf787e7787fe5af8ef2dee85b2ed1a467)
- Homogénea de grado 0: función de variables intensivas :
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e7c649d6b21d85dd7d7b819bc5ea491909ae86)
Bibliografía[editar]
- Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
- Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España