En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si
es una función continua entre dos espacios métricos y
es compacto, entonces
es uniformemente continua en
.[1]
Demostración[editar]
La continuidad uniforme de una función se expresa como:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M:\left(d_{M}(x,y))<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b903a2babbb0cf86c858854e78898d400462b14)
donde
,
son las funciones distancia en los espacios métricos
y
, respectivamente. Si ahora asumimos que
es continua en el espacio métrico compacto
pero no uniformemente continua, la negación de la continuidad uniforme de
queda así:
![{\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M:\left(d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02afa53f63a3d171fc4547d8e2510fdf37dab74c)
Eligiendo
, para todo
positivo tenemos un par de puntos
e
en
con las propiedades arriba descritas. Si elegimos
para
obtenemos dos sucesiones
tales que
![{\displaystyle d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e345f2797dbdef3cb9cebb6d67d201d92e13d72a)
Como
es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes (
a
y
a
). Se sigue que
![{\displaystyle d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a302e19983645378414c04984e4c4e89682f5b7f)
Pero como
es continua y
e
convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que
no es uniformemente continua es absurda: entonces
debe ser uniformemente continua en
como afirma el teorema.
Referencias[editar]