Fig. 1 - Un triángulo. En trigonometría , el teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos .
En la Figura 1, a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y γ son los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente establece que:
a − b a + b = tan ( α − β 2 ) tan ( α + β 2 ) {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\cfrac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\tan \left({\cfrac {\alpha +\beta }{2}}\right)}}} Aunque el teorema de la tangente no es tan conocido como el teorema del seno o el teorema del coseno , es exactamente igual de útil, y se puede utilizar en cualquiera de los casos donde se conocen dos lados y un ángulo o cuando se conocen dos ángulos y un lado.
Demostración [ editar ] Para demostrar el teorema de la tangente se puede empezar con el teorema del seno:
a sen α = b sen β {\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen} {\alpha }}}={\frac {b}{\operatorname {sen} {\beta }}}} Llamando "q" al resultado de este cociente, se obtiene que: a = q sen α {\displaystyle \scriptstyle {a\,=\,q\operatorname {sen} \alpha }} , b = q sen β {\displaystyle \scriptstyle {b\,=\,q\operatorname {sen} \beta }} , por tanto
a − b a + b = q sen α − q sen β q sen α + q sen β = sen α − sen β sen α + sen β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {q\operatorname {sen} \alpha -q\operatorname {sen} \beta }{q\operatorname {sen} \alpha +q\operatorname {sen} \beta }}={\frac {\operatorname {sen} \alpha -\operatorname {sen} \beta }{\operatorname {sen} \alpha +\operatorname {sen} \beta }}.} Utilizando la fórmula de Simpson :
sen ( x ) + sen ( y ) = 2 sen ( x + y 2 ) cos ( x − y 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen}(x)+\operatorname {sen}(y)=2\operatorname {sen} \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;} con x = α {\displaystyle \scriptstyle {x\,=\,\alpha }} y y = ± β {\displaystyle \scriptstyle {y\,=\,\pm \beta }} se obtiene
a − b a + b = 2 sen ( α − β 2 ) cos ( α + β 2 ) 2 sen ( α + β 2 ) cos ( α − β 2 ) = tan α − β 2 tan α + β 2 {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\operatorname {sen} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={{\tan {\alpha -\beta \over 2}} \over {\tan {\alpha +\beta \over 2}}}}