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Interpretación geométrica: para cualquier función continua en [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} y diferenciable en ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , entonces existe algún c {\displaystyle c} en el intervalo ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} de tal manera que la secante que une los extremos del intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} es paralela a la tangente en c {\displaystyle c} . Existe un punto del arco fijado donde la tangente es paralela a la cuerda. En análisis matemático , y más concretamente en cálculo diferencial , el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange ). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital , fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones 0 0 {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} o ∞ ∞ {\displaystyle \textstyle {\frac {\infty }{\infty }}} .
El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821),[ 1] se enuncia de la siguiente manera:
Sean f {\displaystyle f} y g {\displaystyle g} continuas en [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} y derivables en ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Entonces existe al menos un punto c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} tal que:
( f ( b ) − f ( a ) ) g ′ ( c ) = ( g ( b ) − g ( a ) ) f ′ ( c ) . {\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,}
En el caso de que g (a ) ≠ g (b ) y además g ′(c ) ≠ 0 , entonces se puede escribir:
f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) ⋅ {\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot }
Nótese el caso particular en el cual g(x)=x , donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange .
Demostración [ editar ] Sea G(x ) una función definida como: G ( x ) = [ g ( b ) − g ( a ) ] ⋅ [ f ( x ) − f ( a ) ] − [ f ( b ) − f ( a ) ] ⋅ [ g ( x ) − g ( a ) ] {\displaystyle G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]\,\!}
donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a ,b ], derivables en (a ,b ). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0 . G ′ ( x ) = [ g ( b ) − g ( a ) ] ⋅ f ′ ( x ) − [ f ( b ) − f ( a ) ] ⋅ g ′ ( x ) {\displaystyle G'(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(x)}
y sabiendo que G'(c) es 0 0 = [ g ( b ) − g ( a ) ] ⋅ f ′ ( c ) − [ f ( b ) − f ( a ) ] ⋅ g ′ ( c ) {\displaystyle 0=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)}
de donde se deduce que [ f ( b ) − f ( a ) ] ⋅ g ′ ( c ) = [ g ( b ) − g ( a ) ] ⋅ f ′ ( c ) {\displaystyle [f(b)-f(a)]\cdot g'(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)}
Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como: f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( c ) g ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}
Q.E.D.
Consecuencias [ editar ] El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital :
lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
muy usada en análisis matemático , para el cálculo de límites de la forma de 0 0 {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} o ∞ ∞ {\displaystyle \textstyle {\frac {\infty }{\infty }}} .
Referencias [ editar ] ↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques , p. 193.