Trivial (matemática)

En matemática, el término trivial se usa frecuentemente para los objetos (por ejemplo, cuerpos o espacios topológicos) que tienen una estructura muy simple. Para los no matemáticos son a veces más fáciles de visualizar o entender, que otros objetos más complicados. También se usa el término trivial para referirse a una opción, caso o posibilidad poco interesante o exenta de interés pero que debe mencionarse por un afán de completitud.

Objetos triviales[editar]

Algunos ejemplos incluyen:

• conjunto vacío - el conjunto que no contiene elementos
• grupo trivial - el grupo matemático que contiene solo el elemento identidad

Casos y soluciones triviales[editar]

También, trivial se refiere a soluciones (a una ecuación) que tienen una estructura muy simple, pero que por completitud no pueden ser ignoradas. Dichas soluciones son obvias y sin interés, por tanto "triviales". Por ejemplo, el último teorema de Fermat se suele enunciar diciendo que no hay soluciones no triviales a la ecuación ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ cuando n es mayor que 2. Claramente hay algunas soluciones a la ecuación. Por ejemplo, ${\displaystyle a=b=c=0}$ es una solución para cualquier n, tal como a = 1, b = 0, c = 1. Pero dichas soluciones son obvias y sin interés, por tanto "triviales".

Trivial en las demostraciones[editar]

Además, los matemáticos usan la palabra trivial para referirse a un caso fácil de una demostración, el cual por completitud no puede ser ignorado. Por ejemplo, las demostraciones por inducción matemática suelen tener dos partes: una que muestra que si una propiedad es cierta para un cierto valor n entonces también cierto para el valor n+1, y otra parte llamada "caso base" que muestra que la propiedad se cumple para un valor particular, generalmente 0 o 1. El caso base suele ser trivial y frecuentemente se lo identifica como tal. Similarmente, uno podría querer probar que alguna propiedad es poseída por todos los miembros de un determinado conjunto.^[1]​ La parte principal de la prueba considerará el caso de un conjunto no vacío, y examinará los elementos detalladamente; en el caso donde el conjunto esté vacío, la propiedad será poseída trivialmente por todos los elementos, dado que no hay ninguno.

Etimología[editar]

El término "trivial" (de trivialis, triviale) deriva de la palabra latina trivium que era el conjunto de las tres materias más sencillas (lógica, gramática y retórica) típica de la formación medieval, que eran una preparación para las materias más avanzadas o quadrivium. Así con el tiempo "trivial" se usó para sugerir que algo era "introductorio" o "sencillo".

1. ↑ ¿Qué es un conjunto dado?