Diferentsiaal

See artikkel räägib matemaatika mõistest; mehhanismi kohta vaata artiklit Diferentsiaal (ülekanne)

Funktsiooni ${\displaystyle y\!=f(x)}$ diferentsiaaliks kohal x nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut:

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\cdot \Delta x\ ,\ }$ ehk

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x.}$

Geomeetriliselt kujutab funktsiooni diferentsiaal graafiku puutuja ordinaadi muutu.

Kuna ${\displaystyle f'(x)=\tan \alpha \ ,}$ siis täisnurksest kolmnurgast ${\displaystyle PRS}$:

${\displaystyle RS=PR\cdot \tan \alpha =f'(x)\Delta x=dy}$

Väikese argumendi muudu Δx korral ${\displaystyle \mathrm {d} y\approx \Delta y}$.

Mitme muutuja funktsiooni ${\displaystyle f}$ täisdiferentsiaal avaldub kui summa funktsiooni osatuletiste korrutistest vastavate muutujate diferentsiaalidega. Kahe muutuja funktsiooni ${\displaystyle f(x,y)}$ puhul avaldub see kui

$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy,}$$kus ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ ja ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ on osatuletised ja ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$ diferentsiaalid vastavalt muutujate ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ järgi. Üldistatult ${\displaystyle m}$ muutujaga funktsiooni ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}$ puhul aga avaldub selle täisdiferentsiaal kui

$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{m}}}dx_{m}.}$$

• Funktsiooni muut
• Tuletis
• Diferentsiaalvõrrand
• Abeli diferentsiaal