Helmholtzi võrrand

Helmholtzi võrrand on Hermann von Helmholtzi järgi nimetatud lineaarne osatuletistega diferentsiaalvõrrand kujul:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0,}$

kus ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ on Laplace'i operaator, ${\displaystyle k}$ on lainearv ja ${\displaystyle A}$ on amplituud.

Helmholtzi võrrand kerkib esile füüsikalisi nähtusi kirjeldavatates aja- ja ruumimuutujaid sisaldavates osatuletistega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel. Näiteks eeldades igas ruumipunktis lihtharmoonilisi võnkumisi esitab Helmholtzi võrrand lainevõrrandi ajast sõltumatul kujul ja seeläbi võimaldab lihtsustada lainelevi nähtuse analüüsi keskendudes vaid normaalvõnkevormide ruumimuutlikkuse analüüsile.

Näiteks vaadeldes lainevõrrandit kujul:

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}$

Eeldades lihtharmoonilisi võnkumisi on lahendis ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}$ aja ja ruumimuutujud eraldatavad: ${\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}$ Asendades viimase algsesse lainevõrrandisse saame muutujad eraldada:

${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {d^{2}T}{dt^{2}}}.}$

Muutujate eraldamise võtte kohaselt leidub antud harilikule diferentsiaalvõrrandile lahend siis ja ainult siis, kui võrrandi mõlemad pooled võrduvad konstandiga. Valides konstandiks ${\displaystyle -k^{2}}$ saame

${\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}}$

ja

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {d^{2}T}{dt^{2}}}=-k^{2}.}$

Korrutades esimest eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandit A-ga saame Helmholtzi võrrandi:

${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$

Oma seotuse tõttu lainevõrrandiga kerkib Helmholtzi võrrand esile paljudes erinevates füüsika valdkondades nagu elektromagnetism, seismoloogia ja akustika.

• Laplace'i operaator