Reaalarv

Reaalarvud on kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud ehk kõik positiivsed ja negatiivsed arvud ja null ehk kõik algebralised arvud ja transtsendentsed arvud.

Reaalarvud moodustavad reaalarvude hulga ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ehk R ning tähtsaima arvuvalla matemaatikas.

Reaalarvud on konstrueeritud nii, et oleks võimalik loomulik üksühene vastavus reaalarvude hulga ja sirge (arvsirge) punktide hulga vahel. Sellepärast samastatakse reaalarvude hulk mõnikord arvsirgega.

Nimetus "reaalarv" ('tegelik arv') iseloomustab erinevust imaginaararvudest.

Reaalarvu mõiste väljakujunemine võttis palju aega. Vana-Kreeka matemaatikas Pythagorase koolkonnas, kus kõige aluseks peeti naturaalarve ja nende suhteid, avastati, et on olemas ühismõõdutud suurused (ruudu külje ja diagonaali ühismõõdutus), tänapäeva mõistes avastati arvud, mis ei ole ratsionaalarvud. Eudoxos püüdis välja töötada ühismõõdutute suurustega opereerivat teooriat. 19. sajandi 2. poolel formuleeriti matemaatiline analüüs kõrgemal rangusastmel ning selle käigus töötasid Karl Weierstraß, Richard Dedekind, Georg Cantor, Eduard Heine ja Charles Méray välja reaalarvude range teooria.

Tänapäeva matemaatika seisukohast moodustab reaalarvude hulk pideva järjestatud korpuse. See definitsioon või sellega samaväärne aksiomaatika määratleb reaalarvud üheselt: isomorfismi täpsusega leidub ainult üks pidev järjestatud korpus.

Kõikide reaalarvude hulga tavaline tähis on ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (ℝ) või ka ${\displaystyle \mathbf {R} }$ või R.

Reaalarvude konstruktsioonid ehk konstruktiivsed definitsioonid on sellised reaalarvude defineerimise viisid, mille korral võetakse aluseks ratsionaalarvud või muud matemaatilised objektid, mis loetakse antuks. Neist konstrueeritakse uued objektid, mis vastavad meie intuitiivsele arusaamale irratsionaalarvudest ja mida nimetatakse irratsionaalarvudeks, ja lisatakse need ratsionaalarvudele. Erinevalt nendest konstruktsioonidest mõistetakse reaalarve ainult intuitiivselt ja need ei ole esialgu rangelt defineeritud matemaatiline mõiste. Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvud. Nendel defineeritakse põhitehted ja järjestus ning tõestatakse nende omadused.

Ajalooliselt esimesed reaalarvude ranged definitsioonid olidki konstruktiivsed. Aastal 1872 avaldati üheaegselt kolm tööd – Georg Cantori fundamentaaljadade teooria, Karl Weierstrassi teooria (tänapäevases variandis lõpmatute kümnendmurdude teooria) ning Richard Dedekindi lõigete teooria ratsionaalarvude vallas.

Allpool esitatud lähenemise reaalarvude defineerimisele esitas Georg Cantor 1872. aastal avaldatud artiklis^[1]. Sarnaseid ideid väljendasid Eduard Heine ja Charles Mérais.

Selles lähenemises defineeritakse arv ratsionaalarvude jada piirväärtusena. Et ratsionaalarvude jada koonduks, asetatakse sellele Cauchy tingimus:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon }$

Selle tingimuse mõte seisneb selles, et jada liikmed on alates teatud numbrist üksteisele kui tahes lähedal. Jadasid, mis seda tingimust rahuldavad, nimetatakse fundamentaaljadadeks ehk Cauchy jadadeks.

Reaalarvu, mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, tähistame ${\displaystyle [a_{n}]}$.

Kaht reaalarvu

mis on defineeritud vastavalt fundamentaaljadadele ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ja ${\displaystyle \{b_{n}\}}$, nimetatakse võrdseteks, kui

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0}$

Kui on antud kaks reaalarvu ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ ja ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, siis nende summaks ja korrutiseks nimetatakse arve, mis on defineeritud vastavalt jadade ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ja ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle \alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}\cdot b_{n}]}$

summa ja korrutisena.

Järjestusseos reaalarvude hulgal kehtestatakse kokkuleppega, mille järgi arv ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ on definitsiooni kohaselt suurem arvust ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$ ehk ${\displaystyle \alpha >\beta }$, kui

${\displaystyle \exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon }$

Reaalarvude hulga konstrueerimine fundamentaaljadade kaudu on mis tahes meetrilise ruumi täielikustamise konstruktsioon. Nagu ka üldjuhul, on täielikustamise tulemuseks saadud reaalarvude hulk ise juba täielik, st temasse kuuluvad kõigi tema elementide fundamentaaljadade piirväärtused.

Cantori teooria lähtekoht oli järgmine idee^[2]. Iga reaalarvu saab esitada ratsionaalarvude lõpmatu jada

${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots }$

abil, mille liikmed on selle reaalarvu lähendid kasvava täpsusastmega, nii et see jada koondub selleks arvuks.

Mõistame nüüd reaalarvu all mingit objekti ${\displaystyle \alpha }$, mille defineerib ratsionaalarvude koonduv jada ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$.

Ent siin peitub vigane ring. Koonduva jada definitsioonis figureerib reaalarv, mis on selle jada piirväärtus – seesama mõiste, mille me koonduvate jadade abil tahame defineerida:

Et vigast ringi ei tekiks, on tarvis leida mingi tunnus, mis võimaldab väljendada jada koonduvuse tingimust selle jada liikmete kaudu, see tähendab mainimata jada piirväärtuse väärtust ennast.

Cantori ajaks oli niisugune tingimus juba leitud. Selle tegi üldisel kujul kindlaks prantsuse matemaatik Augustin Louis Cauchy^[3]. Cauchy kriteeriumi järgi koondub jada ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ siis ja ainult siis, kui

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon }$

Kujundlikult öeldes seisneb jada koonduvuse tingimus Cauchy kriteeriumis selles, et jada liikmed on mingist numbrist alates üksteisele kui tahes lähedal.

Cauchy ei saanud seda kriteeriumi kuigivõrd rangelt põhjendada, sest puudus reaalarvu teooria.

Cantor pööras tähelepanu sellele, et see kriteerium iseenesest iseloomustab koonduva jada sisemisi omadusi: teda saab formuleerida ja kontrollida, ilma et oleks juttu selle jada piirväärtuseks olevast reaalarvust endast. Ja sellepärast saab seda tunnust kasutada selleks, et tuua välja jadade klass, mille abil saab reaalarve defineerida.

Nii et põhiline samm, mille tegi Cantor reaalarvu teooria rajamisel, seisnes selles, et ta vaatles iga ratsionaalarvude jada ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$, mis rahuldab Cauchy tingimust, mingit (ratsionaalset või irratsionaalset) reaalarvu defineerivana. "Kui ma räägin arvsuurusest üldistatud mõttes, toimub see eelkõige juhtumil, mil on ette pandud ratsionaalarvude lõpmatu jada

${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots }$,

mis on antud mingi seaduse abil ning millel on see omadus, et vahe ${\displaystyle a_{n+m}-a_{n}}$ saab ${\displaystyle n}$-i kasvades lõpmata väikeseks, olgu positiivne täisarv ${\displaystyle m}$ milline tahes, ehk teiste sõnadega, suvaliselt valitud (positiivse ratsionaalarvu) ${\displaystyle \varepsilon }$ korral leidub selline täisarv ${\displaystyle n}$, et ${\displaystyle |a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon }$, ja ${\displaystyle m}$ on mis tahes positiivne täisarv."^[1]

Tänapäeval nimetatakse Cauchy tingimust rahuldavat jada Cauchy jadaks ehk fundamentaaljadaks.

Kaks fundamentaaljada ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ja ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ võivad defineerida üht ja sedasama reaalarvu. See on nii tingimusel

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon }$

Niisiis tekib ratsionaalarvude kõigi fundamentaaljadade hulgal ekvivalentsusseos, ja üldise printsiibi järgi jagunevad kõik fundamentaaljadad ekvivalentsusklassideks. Selle klassijaotuse mõte seisneb selles, et ühte klassi kuuluvad jadad defineerivad ühe ja sellesama reaalarvu ning eri klassidesse kuuluvad jadad erinevad. Niisiis on olemas üksühene vastavus reaalarvude ning ratsionaalarvude fundamentaaljadade klasside vahel.

Nüüd saame sõnastada Cantori reaalarvude teooria põhidefinitsiooni.

Definitsioon. Reaalarv on ratsionaalarvude fundamentaaljadade ekvivalentsusklass.

Reaalarvu (ekvivalentsusklassi), mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, tähistame ${\displaystyle [a_{n}]}$.

Aritmeetilised tehted reaalarvudega defineeritakse nii. Kui on antud kaks reaalarvu ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$, mis on defineeritud fundamentaaljadadega ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ja ${\displaystyle \{b_{n}\}}$, nii et

siis ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$ summaks nimetatakse reaalarvu, mis on defineeritud jadaga ${\displaystyle \{a_{n}+b_{n}\}}$, see on ekvivalentsusklassi, millesse see jada kuulub:

${\displaystyle \alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]}$

Pole raske kontrollida, et see definitsioon on korrektne, st ei sõltu konkreetsete jadade ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ klassist ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ klassist ${\displaystyle \beta }$ valikust.

Analoogselt defineeritakse reaalarvude vahe, korrutis ja jagatis.

Reaalarv ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ on definitsiooni järgi suurem kui arv ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, see tähendab ${\displaystyle \alpha >\beta }$, kui

${\displaystyle \exists \varepsilon >0\;\exists N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon }$

See definitsioon ei sõltu jadade ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ klassist ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ klassist ${\displaystyle \beta }$ valikust.

Ratsionaalarvude süsteem sisestatakse reaalarvude süsteemi täiendava kokkuleppe abil, mille järgi jada

${\displaystyle a,a,\ldots a,\ldots ,}$

mille kõik liikmed on võrdsed ühe ja sellesama ratsionaalarvuga ${\displaystyle a}$, defineerib sellesama arvu, nii et ${\displaystyle [a]{\overset {\text{def}}{=}}a}$. Teiste sõnadega, iga klass ${\displaystyle [a]}$, mis sisaldab statsionaarset jada ${\displaystyle a,a,\ldots a,\ldots }$, samastatakse arvuga ${\displaystyle a}$. Niisiis, reaalarvude hulk, mille konstrueerisime, on ratsionaalarvude hulga laiend.

Sellega on reaalarvude hulga konstrueerimine lõpule viidud.

Edasi saab toodud definitsioonide abil tõestada reaalarvude teadaolevad omadused.

Definitsioonist järeldub, et iga ratsionaalarvude fundamentaaljada koondub mingiks reaalarvuks. See printsiip oli reaalarvu definitsiooni aluseks. Tänu sellele lisandusid ratsionaalarvudele irratsionaalarvud – ratsionaalarvude nende fundamentaaljadade piirväärtused, millel ratsionaalarvude seas piirväärtust ei olnud.

Tekib õigustatud küsimus, kas analoogset täielikustamise protseduuri ei või läbi viia veel kord, juba konstrueeritud reaalarvude hulgal. Osutub, et see protseduur ei anna uut tulemust, sest igal reaalarvude fundamentaaljadal on piirväärtus reaalarvude seas. Seda reaalarvude hulga omadust nimetatakse täielikkuseks. Ja väide, et iga reaalarvude fundamentaaljada koondub, ongi Cauchy koonduvuskriteeriumi põhisisu.

Sama ideed kasutas hiljem Felix Hausdorff, kui ta tõestas Hausdorffi teoreemi meetrilise ruumi täielikustamisest.

 Pikemalt artiklis Kümnendmurd

Lõpmatute kümnendmurdude teooria pärineb Karl Weierstraßilt. 1863. aasta paiku töötas ta välja reaalarvude teooria, mis avaldati tema loengumärkmetena 1872^[4]. Muide, Weierstraßi teooria algversioon erineb mõnevõrra lõpmatute kümnendmurdude teooriast, mida esitatakse tänapäeva matemaatilise analüüsi õpikutes.

 Pikemalt artiklis Kümnendmurd

Loeme antuks ratsionaalarvude hulga ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. On teada, et iga ratsionaalarvu ${\displaystyle p/q\in \mathbb {Q} }$ saab lahutada kümnendmurruks, mille paneme kirja kujul:

${\displaystyle p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }$

Kui kümnendmurruks lahutamise protsess lõpeb lõpliku arvu sammude järel, siis kümnendmurd on lõplik, vastasel juhul lõpmatu.

Iga lõplikku või lõpmatut kümnendmurdu võib vaadelda formaalse reana kujul

${\displaystyle \pm \sum _{k}a_{k}\cdot 10^{-k},}$

kus indeksi ${\displaystyle k}$ väärtused on kas esimesed naturaalarvud ${\displaystyle 0,1,\ldots ,n}$ või vastavalt kõik naturaalarvud ${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$ . Saab näidata, et rida, mis saadakse ratsionaalarvu ${\displaystyle p/q}$ lahutamisel kümnendmurruks, alati koondub ning tema summa võrdub algse ratsionaalarvuga.

Kui ratsionaalarvu lahutamisel kümnendmurruks saadakse lõpmatu kümnendmurd, siis see on alati perioodiline.

Seega vastab igale ratsionaalarvule üksainus kümnendmurd, kuid mõni kümnendmurd (näiteks lõpmatud mitteperioodilised) ei vasta ühelegi ratsionaalarvule. Loomulik on oletada, et ka nendele murdudele vastavad mingid hüpoteetilised arvud, mis ei ole ratsionaalarvud. Võttes vaatluse alla need hüpoteetilised arvud, mida hakkame nimetama irratsionaalarvudeks, just nagu täidame lüngad kõigi kümnendmurdude kogumis.

Seega võtame reaalarvude teooria aluseks oletuse (idee), et iga kümnendmurd on mõne ratsionaal- või irratsionaalarvu (reaalarvu) ${\displaystyle \alpha }$ lahutus kümnendmurruks:

${\displaystyle \alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }$

Seejuures tõlgendame seda lahutust samamoodi nagu ratsionaalarvude puhul, nimelt peame reaalarvu ${\displaystyle \alpha }$ rea

${\displaystyle \pm \sum _{k}a_{k}\cdot 10^{-k}}$

summaks.

Definitsioon. Reaalarv on lõpmatu kümnendmurd, s.o on avaldis kujul

${\displaystyle \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }$,

kus ${\displaystyle \pm }$ on üks sümbolitest ${\displaystyle +}$ või ${\displaystyle -}$, mida nimetame arvu märgiks, ${\displaystyle a_{0}}$ on mittenegatiivne täisarv, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots }$ on kümnendnumbrimärkide (mida võib tõlgendada arvuhulga ${\displaystyle \{0,1,\ldots 9\}}$ elementidena) jada.

Seejuures samastame definitsiooni kohaselt kümnendmurrud ${\displaystyle +0,00\ldots }$ ja ${\displaystyle -0,00\ldots }$, samuti kümnendmurrud kujul ${\displaystyle \pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\ldots }$ ja ${\displaystyle \pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots ,\;(a_{n}\neq 9)}$. Selle kokkuleppe mõte on ilmne, sest neile kümnendmurdudele vastavad ratsionaalarvud langevad kokku.^[5]

Loomulik on kohe kokku leppida, et perioodilised lõpmatud kümnendmurrud kujutavad neile vastavaid ratsionaalarve. Teiste sõnadega, me samastame perioodilised kümnendmurrud ratsionaalarvudega. Sellise kokkuleppe puhul on ratsionaalarvude hulk kõikide reaalarvude hulga alamhulk.

Järgneb lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsiooni visand.

Kõigepealt defineeritakse järjestus kõigi lõpmatute kümnendmurdude hulgal. Aluseks võetakse arvude kümnendjärkude järjestikune võrdlemine suurematest väiksemateni. Olgu näiteks antud kaks mittenegatiivset arvu

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}}$

Olgu ${\displaystyle a_{n}}$ ja ${\displaystyle b_{n}}$ esimesed mittekokkulangevad numbrimärgid ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$ üleskirjutustes. Kui nüüd ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$, siis definitsiooni kohaselt ${\displaystyle \alpha <\beta }$, ja kui ${\displaystyle a_{n}>b_{n}}$, siis ${\displaystyle \alpha >\beta }$. Kahe mittenegatiivse arvu võrdluse alusel defineeritakse mis tahes kahe reaalarvu võrreldavus.

Saab näidata, et defineeritud võrdlusseos ${\displaystyle <}$ annab lõpmatute kümnendmurdude hulgal lineaarselt järjestatud hulga struktuuri. Samuti saab näidata, et perioodiliste kümnendmurdude korral langeb kehtestatud järjestussuhe kokku juba olemasoleva võrreldavusseosega ratsionaalarvude seas.

Pärast lõpmatute kümnendmurdude hulgal järjestusseose defineerimist tõestatakse reaalarvu teooria jaoks põhimõttelise tähtsusega teoreem täpsest ülemrajast. See teoreem väljendab asjaolu, et reaalarvude järjestatud kogumil on pidevuse (Dedekindi täielikkuse) omadus.

Nüüd laiendatakse aritmeetilised tehted, mis on juba defineeritud ratsionaalarvude seas, pidevuse alusel kõigile reaalarvudele.

Nimelt, olgu ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$ kaks reaalarvu. Nende summaks nimetatakse reaalarvu ${\displaystyle \alpha +\beta }$, mis rahuldab järgmist tingimust:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')}$

Saab näidata, et seda tingimust rahuldav reaalarv eksisteerib ja on ainuke.

Analoogselt defineeritakse reaalarvude korrutamine. Kahe positiivse reaalarvu ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$korrutiseks nimetatakse reaalarvu ${\displaystyle \alpha \cdot \beta }$, mis rahuldab järgmist tingimust:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')}$

Nagu ka liitmise puhul, seda tingimust rahuldav arv eksisteerib ja on ainuke. Pärast seda on lihtne defineerida kahe suvalise märgiga reaalarvu korrutis.

Saab kontrollida, et reaalarvude hulgal defineeritud liitmise ja korrutamise tehe langevad kokku ratsionaalarvude liitmise ja korrutamise tehtega.

Sellega on lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsioon lõpule viidud. Edasi saab antud definitsioonide põhjal tõestada reaalarvude teadaolevad omadused, mis puudutavad aritmeetilisi tehteid ja järjestust.

Lõpuks olgu märgitud, et pärast reaalarvude jada piirväärtuse ja rea summa defineerimist saab tõestada, et iga reaalarv on oma kümnendlahutuse rea summa. See tähendab, kui

${\displaystyle \alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots }$,

siis

Weierstrass ise vaatles pisut teistsugust konstruktsiooni^[4][6].

Ülalesitatud teooriat võib lühidalt määratleda teooriana formaalsetest ridadest kujul

kus ${\displaystyle a_{0}}$ on mittenegatiivne täisarv ning ${\displaystyle a_{k},k=1,2,\ldots }$ on – kümnendnumbrimärgid.

Weierstrass aga vaatles formaalseid ridasid üldisemal kujul:

kus ${\displaystyle a_{n},n=1,2,\ldots }$ on suvalised mittenegatiivsed täisarvud.

On ilmne, et niisuguses konstruktsioonis saab reaalarvu kujutada lõpmata paljudel viisidel. Peale selle on selge, et kaugeltki mitte kõigile niisugustele ridadele ei saa omistada arvväärtust. Näiteks rida

hajub.

Sellepärast Weierstrass esiteks vaatleb ainult koonduvaid ridasid (ta defineerib need read tõkestatud osasummadega ridadena (vaata mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse kriteeriumi)) ning teiseks defineerib sellel hulgal ekvivalentsusseose. Reaalarv on defineeritud ekvivalentsete koonduvate ridade klassina.

Reaalarvude defineerimisviis kümnendmurdude abil, see tähendab lahutuse abil mitte kõikide alikvootsete murdude (see on murdude kujul ${\displaystyle 1/n}$) kaupa, vaid ainult kümne astmete ${\displaystyle 1/10^{k}}$ kaupa on mugavam, sest sellega saavutatakse reaalarvu rea kujul kujutamise ühesus. Kui aga tulla tagasi Weierstrassi üldise viisi juurde, siis saab ilmsiks analoogia Weierstrassi lähenemise ja Cantori lähenemise vahel. Cantor defineeris reaalarvu ratsionaalarvude koonduvate jadade ekvivalentsusklassina, kusjuures jada koonduvuse määratlemiseks ta kasutas Cauchy kriteeriumi. Weierstrass tegi sedasama, ainult et koonduvate jadade asemel vaatles ta koonduvaid ridasid ning jada koonduvuse Cauchy kriteeriumi asemel kasutas ta mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse tunnust (muide, ekvivalentne teoreem monotoonse jada piirväärtusest kannab Weierstrassi nime).

 Pikemalt artiklis Dedekindi lõige

Richard Dedekindi teooria on kõige lihtsam ja ajalooliselt esimene range reaalarvuteooria. Erinevalt Cantori ja Weierstrassi analüütilisest lähenemisest on Dedekindi teooria aluseks geomeetrilised kaalutlused, millest tuleneb selle näitlikkus.

Dedekindi teooria väärtus seisneb selles, et peale reaalarvude konstrueerimise toodi seal esimest korda välja pidevuse mõiste matemaatiline olemus. See mõiste on matemaatilise analüüsi aluseks ning seda oli sajandeid kasutatud, viidates selle ilmsusele või geomeetrilistele kaalutlustele.

Dedekind lõi oma teooria 1858, kuid see avaldati esmakordselt 1872 väikeses brošüüris "Stetigkeit und irrationale Zahlen"^[7] ('Pidevus ja irratsionaalarvud'). See raamat on tänini üks paremaid ja arusaadavaid aine esitusi. Siinne esitus järgib põhilises Dedekindi mõttekäiku.

Dedekindi ajal tuli diferentsiaalarvutuse kursuse esituses, mis enamasti kasutas rangeid meetodeid, mõne väite tõestamisel siiski tugineda geomeetrilisele näitlikkusele.

Näiteks kui tõestati teoreemi monotoonse jada piirväärtusest, siis joonestati sirgjoon, millele märgiti punktid ${\displaystyle A_{n}}$, mis kujutasid jada ${\displaystyle a_{n}}$ liikmeid. Edasi öeldi näiteks, et "ilmselt" eksisteerib punkt ${\displaystyle A}$, millele punktid ${\displaystyle A_{n}}$ piiramatult lähenevad, või et niisugune punkt "peab" eksisteerima, sest arvsirge on "punktidega pidevalt täidetud". Edasi, kuna igale punktile sirgel vastab mingi ratsionaal- või irratsionaalarv, siis punktile ${\displaystyle A}$ vastava arvu ${\displaystyle a}$ korral kehtib: ${\displaystyle \lim a_{n}=a}$. Dedekind ütleb: "Sageli öeldakse, et diferentsiaalarvutus tegeleb pidevate suurustega, ent mitte kuskil ei anta selle pidevuse definitsiooni, ja isegi diferentsiaalarvutuse kõige rangemal esitamisel ei rajata tõestusi pidevusele, vaid apelleeritakse enam-vähem teadlikult kas geomeetrilistele ettekujutustele või ettekujutustele, mis saavad alguse geomeetriast, või lõpuks rajatakse tõestus teesidele, mida endid pole mitte kunagi tõestatud puhtaritmeetilisel teel."

Vajadust kasutada puhtaritmeetilise (arvude kohta käiva) väite tõestamiseks kasutada geomeetrilisi kaalutlusi tekitab teatava rahulolematuse tunde ning annab tunnistust "aritmeetika puudulikust põhjendatusest", arvu range ja täieliku teooria puudumisest. Ent kui isegi pidada lubatavaks geomeetrilist argumentatsiooni, tekib küsimus pidevusest sirge enese punktide suhtes. Osutub, et sirge pidevuse mõistel puudub siin loogiline definitsioon.

Sellest lähtudes püstitas Dedekind järgmised kaks ülesannet:

1. Leida loogiline formuleering sirge põhiomadusele, mis kätkeb meie näitlikes ettekujutustes "sirge pidevast täidetusest punktidega".
2. Konstrueerida arvu range puhtaritmeetiline teooria, nii et need arvude süsteemi omadused, mille põhjendamiseks varem oli kasutatud näitlikke geomeetrilisi ettekujutusi, nüüd järelduksid arvu üldisest definitsioonist.

Dedekind lähtub ratsionaalarvudest, mille omadused ta loeb teadaolevateks. Ratsionaalarvude süsteemi kõrvutab ta sirge ${\displaystyle \mathbb {L} }$ punktide kogumiga, et tuua välja viimase omadused.

Ratsionaalarvud ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ moodustavad kogumi, millel on antud aritmeetilised tehted liitmine ja korrutamine, millel on teatud omadused. Kogum ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ on lineaarselt järjestatud: mis tahes kahe erineva arvu ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ korral võib öelda, et üks neist on teisest väiksem.

Sirge ${\displaystyle \mathbb {L} }$ punktide kogum on samuti lineaarselt järjestatud hulk. Kahe punkti ${\displaystyle p}$ ja ${\displaystyle q}$ vaheline järjestusseos väljendub siin selles, et üks punkt ${\displaystyle p}$ asetseb teisest ${\displaystyle q}$ vasakul.

Selle sarnasuse ratsionaalarvude ja punktide vahel saab välja arendada, seades nende vahele vastavuse. Nii saadakse arvsirge. Selleks valitakse sirgel kindel algpunkt, kindel pikkusühik ehk ühiklõik ehk skaala lõikude mõõtmiseks ning positiivne suund. Iga ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ jaoks saab konstrueerida vastava pikkuse, ning asetades selle algpunktist paremale või vasakule olenevalt sellest, kas arv ${\displaystyle a}$ on positiivne või mitte, saame kindla punkti ${\displaystyle p\in \mathbb {L} }$, mis vastab ratsionaalarvule ${\displaystyle a}$.

Seega saab igale ratsionaalarvule ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ seada vastavusse kindla punkti ${\displaystyle p\in \mathbb {L} }$. Seejuures vastavad eri arvudele eri punktid. Kui arv ${\displaystyle a}$ on väiksem kui ${\displaystyle b}$, siis punkt ${\displaystyle p}$, mis vastab arvule ${\displaystyle a}$, asetseb vasakul punktist ${\displaystyle q}$, mis vastab arvule ${\displaystyle b}$. Teiste sõnadega, kehtestatud vastavus säilitab järjestuse.

Ühtlasi osutub, et sirgel ${\displaystyle \mathbb {L} }$ on lõpmata palju arve, mis ei vasta mitte ühelegi ratsionaalarvule. See järeldub ühismõõdutute lõikude olemasolust, mis oli teada juba antiikajal (näiteks ruudu diagonaali ja külje ühismõõdutus, see tähendab arvu ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (ruutjuur kahest) irratsionaalsus).

Piltlikult öeldes on sirge ${\displaystyle \mathbb {L} }$ täidetud punktidega tihedamalt kui ratsionaalarvude kogum ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ arvudega. Me näeme, et ratsionaalarvude hulga sees on tühjad kohad, mis vastavad neile sirge punktidele, millele ei leidunud vastavat ratsionaalarvu, sellal kui sirge kohta ütleme, et ta on "punktidega pidevalt täidetud". Dedekind ütleb: "Eelnev ratsionaalarvude valla võrdlus sirgega viis selleni, et esimeses avastati lünklikkus, mittetäielikkus ehk katkelisus, sellal kui sirgele me omistame täielikkuse, lünkade puudumise, pidevuse."

Milles see pidevus õigupoolest seisneb? Kuidas seda sirge omadust matemaatiliselt väljendada?

Dedekind teeb järgmise tähelepaneku. Kui ${\displaystyle p}$ on sirge kindel punkt, siis sirge kõik punktid jagunevad kaheks klassiks: need, mis asetsevad punktist ${\displaystyle p}$ vasakul, ja need, mis asetsevad punktist ${\displaystyle p}$ paremal; punkti ${\displaystyle p}$ võib aga suvaliselt arvata kas esimesse või teise klassi. Ühtlasi kehtib sirge punktide kohta pöördprintsiip: "Kui sirge punktid jagunevad kaheks niisuguseks klassiks, et iga esimese klassi punkt asetseb igast teise klassi punktist vasakul, siis eksisteerib üks ja ainult üks punkt, mis tekitab sirge niisuguse jagunemise kaheks klassiks, sirge niisuguse lõigatuse kaheks tükiks."

Geomeetriliselt tundub see väide ilmsena, kuid tõestada me seda ei suuda. Dedekind osutab, et tegelikult ei ole see printsiip midagi muud kui postulaat, milles väljendub sirge pidevuse olemus. Kui võtame selle postulaadi omaks, siis omistame sirgele selle omaduse, mida me nimetame tema pidevuseks. "Selle omaduse omaksvõtmine pole midagi muud kui aksioom, mille abil me alles mööname sirgele pidevuse, paigutame mõttes sirge sisse pidevuse."

Selgitame Dedekindi printsiibi sisu ja geomeetrilist tõlgendust. Kujutame ette, et kõik sirge punktid on värvitud kahte värvi – roheliseks ja punaseks, nii et iga rohelist värvi punkt asetseb vasakul igast punast värvi punktist.

On geomeetriselt ilmne, et peab eksisteerima sirge niisugune punkt, milles värvid puutuvad kokku. See punkt jagabki sirge kaheks klassiks: kõik rohelist värvi punktid asetsevad temast vasakul ja kõik punast värvi punktid paremal. Selles seisnebki Dedekindi printsiip.

Sealjuures peab ka kokkupuutepunkt ise olema kindlat värvi, sest tingimuse kohaselt on värvitud eranditult kõik sirge punktid. See punkt peab olema kas roheline, olles sel juhul viimane roheline punkt, või punane, olles sel juhul esimene punane punkt. Nagu on kerge näha, need kaks varianti välistavad teineteist: esimesel juhtumil ei eksisteeri esimest punast punkti – eksisteerivad kokkupuutepunktile kui tahes lähedased punased punktid, kuid esimest nende seas ei ole, teisel juhtumil aga puudub analoogsetel põhjustel viimane roheline punkt.

Nüüd pöörame tähelepanu sellele, millised loogilised võimalused me välistasime, apelleerides geomeetrilisele näitlikkusele. Kerge on näha, et neid on ainult kaks: esiteks võiks juhtuda, et üheaegselt eksisteerivad nii viimane roheline kui ka esimene punane punkt; teiseks võiks juhtuda, et pole ei viimast rohelist ega esimest punast punkti.

Esimese olukorra kohta öeldakse, et leiab aset hüpe. Selline pilt on võimalik sirge korral, millest on välja visatud terve vahemik vahepealseid punkte.

Teise olukorra kirjeldamiseks kasutatakse terminit "lünk". See pilt võib aset leida sirge korral, millest on eemaldatud terve lõik, kaasa arvatud selle otsad – sealhulgas juhtum, kui on eemaldatud üksainus punkt.

Seega tähendab sirge pidevus, et temas ei ole ei hüppeid ega lünki – lühidalt, ei ole tühje kohti.

On märkimisväärne, et ülaltoodud pidevuse definitsioon on rakendatav mis tahes elementide järjestatud kogumile.

Anname nüüd pidevuse täpse definitsiooni Dedekindi järgi, mis on rakendatav suvalisele lineaarselt järjestatud hulgale.

Definitsioon. Olgu ${\displaystyle {\mathsf {L}}}$ lineaarselt järjestatud hulk. Hulkade ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle A'}$ järjestatud paari nimetatakse lõikeks järjestatud hulgal ${\displaystyle {\mathsf {L}}}$ ning hulki ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle A'}$ endid selle lõike vastavalt alumiseks ja ülemiseks klassiks, kui on täidetud järgmised tingimused:

1. Klassid on mittetühjad:

2. Järjestatud hulga ${\displaystyle {\mathsf {L}}}$ iga element kuulub vähemalt ühesse klassidest':

3. Alumise klassi iga element on väiksem ülemise klassi suvalisest elemendist:

Lõiget tähistame ${\displaystyle A|A'}$.

Definitsioon. Lineaarselt järjestatud hulka ${\displaystyle {\mathsf {L}}}$ nimetatakse pidevaks (Dedekindi järgi), kui tema mis tahes lõike puhul kas alumises klassis leidub suurim element ja ülemises klassis ei leidu vähimat või ülemises klassis leidub vähim element ja alumises klassis ei leidu suurimat (niisuguseid lõikeid nimetatakse Dedekindi lõigeteks).

Näitena vaatleme ratsionaalarvude hulka. Kerge on näha, et selles ei saa olla hüppeid: kui ${\displaystyle a}$ on alumise klassi maksimaalne element, ${\displaystyle b}$ on ülemise klassi minimaalne element, siis arv ${\displaystyle (a+b)/2}$, mis asetseb ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ vahel keskel, ei saa kuuluda ei alumisse ega ülemisse klassi, mis on vastuolus lõike definitsiooniga.

Samal ajal on ratsionaalarvude hulga sees tühikud – just neis kohtades, kus peavad asuma irratsionaalarvud. Vaatleme näiteks lõiget ${\displaystyle A|A'}$, mille defineerivad hulgad

Kerge on näha, et see on tõesti lõige, kuid alumises klassis ei ole maksimaalset elementi ja ülemises klassis ei ole minimaalset. Seega on tegu lüngaga.

Seega ratsionaalarvude kogum ei ole pidev: selles on lüngad. Et konstrueerida reaalarvude hulk, mille elemendid assotsieeruvad reaalarvudega, tuleb täita kõik lüngad ratsionaalarvude kogumis.

Ratsionaalarvude hulga iga lüngatüüpi lõike ${\displaystyle A|A'}$ korral lisame kogumile ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ uue elemendi (irratsionaalarvu) ${\displaystyle \alpha }$, mis definitsiooni kohaselt on suurem igast alumisse klassi kuuluvast arvust ${\displaystyle a}$ ning väiksem igast ülemisse klassi kuuluvast arvust ${\displaystyle a'}$. Sellega täidamegi lõike klasside vahelise tühja koha. Me ütleme, et lõige ${\displaystyle A|A'}$ defineerib irratsionaalarvu ${\displaystyle \alpha }$ ehk irratsionaalarv ${\displaystyle \alpha }$ tekitab lõike ${\displaystyle A|A'}$.

Ühendades kõik võimalikud juhtumid, võime öelda, et iga lõige ratsionaalarvude vallas defineerib mingi ratsionaal- või irratsionaalarvu, mis selle lõike tekitab.

Definitsioon. Mall:Razr nimetatakse iga lõiget ratsionaalarvude hulgas, mille alumises klassis ei ole suurimat elementi ja mille ülemises klassis ei ole vähimat elementi.

Definitsioon. Mall:Razr nimetatakse ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga ühendit. Reaalarvude hulga iga elementi nimetatakse Mall:Razr.

Reaalarvude hulk on defineeritud järjestusseose suhtes lineaarselt järjestatud.

Mall:Razr Reaalarvude hulk on pidev Dedekindi järgi.

See lause vajab tõestust.

Liitmis- ja korrutamistehe defineeritakse reaalarvude hulgal pidevuse järgi (nagu ka lõpmatute kümnendmurdude teoorias). Nimelt, kahe reaalarvu ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$ summaks nimetatakse reaalarvu ${\displaystyle \gamma }$, mis rahuldab järgmist tingimust:

Reaalarvude hulga pidevusest järeldub, et niisugune reaalarv ${\displaystyle \gamma }$ on olemas ja on ainus. Peale selle, kui ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$ on ratsionaalarvud, siis see definitsioon langeb kokku tavalise kahe ratsionaalarvu summa definitsiooniga. Analoogselt defineeritakse korrutamine ja tõestatakse tehete ning järjestusseose omadused.

Hulka ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nimetatakse reaalarvude hulgaks ning selle elemente reaalarvudeks, kui on täidetud järgmine tingimuste kompleks, mida nimetatakse reaalarvude aksiomaatikaks:

Hulgal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on defineeritud kujutus (liitmise binaarne tehe)

mis seab igale elementide järjestatud paarile ${\displaystyle a,b}$ hulgast ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vastavusse mingi elemendi ${\displaystyle c}$ sellest samast hulgast ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mida nimetatakse ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ summaks (${\displaystyle a+b}$ on hulga ${\displaystyle \mathbb {R} }$ elemendi ${\displaystyle c}$ ekvivalentne üleskirjutus).

Hulgal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on defineeritud ka kujutus (korrutamise tehe)

mis seab igale elementide ${\displaystyle a,b}$ järjestatud paarile hulgast ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vastavusse mingi elemendi ${\displaystyle a\cdot b}$, mida nimetatakse ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ korrutiseks.

Sealjuures kehtivad järgmised omadused:

${\displaystyle {\text{I}}_{1}.}$ Liitmise kommutatiivsus. Mis tahes ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle a+b=b+a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{2}.}$ Liitmise assotsiatiivsus. Mis tahes ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$

${\displaystyle {\text{I}}_{3}.}$ Nullelemendi olemasolu Leidub nullelemendiks nimetatav element ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} }$, millel on omadus, et mis tahes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle a+0=a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{4}.}$ Vastandelemendi olemasolu. Mis tahes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ korral leidub ${\displaystyle a}$ vastandelemendiks nimetatav element ${\displaystyle -a\in \mathbb {R} }$, millel on omadus, et

${\displaystyle a+(-a)=0}$

${\displaystyle {\text{I}}_{5}.}$ Korrutamise kommutatiivsus. Mis tahes ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{6}.}$ Korrutamise assotsiatiivsus. Mis tahes ${\displaystyle a,b,c,\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$

${\displaystyle {\text{I}}_{7}.}$ Ühikelemendi olemasolu. Leidub ühikelemendiks nimetatav element ${\displaystyle 1\in R}$, millel on omadus, et mis tahes ${\displaystyle a\in R}$ korral

${\displaystyle a\cdot 1=a}$

${\displaystyle {\text{I}}_{8}.}$ Pöördelemendi olemasolu. Mis tahes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a\neq 0}$ korral leidub ${\displaystyle a}$ pöördelemendiks nimetatav element ${\displaystyle a^{-1}\in \mathbb {R} }$, ehk ${\displaystyle 1/a}$, millel on omadus, et

${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1}$

${\displaystyle {\text{I}}_{9}.}$ Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Mis tahes ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

${\displaystyle {\text{I}}_{10}.}$ Korpuse mittetriviaalsus. Ühikelement ja nullelement on hulga ${\displaystyle \mathbb {R} }$ erinevad elemendid :

Hulga ${\displaystyle \mathbb {R} }$ elementide vahel on defineeritud binaarne seos ${\displaystyle \leqslant }$, st mis tahes elementide ${\displaystyle a,b}$ järjestatud paari korral hulgast ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on kindlaks määratud, kas seos ${\displaystyle a\leqslant b}$ kehtib või mitte. Sealjuures kehtivad järgmised omadused.

${\displaystyle {\text{II}}_{1}.}$ Refleksiivsus. Mis tahes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle {\text{II}}_{2}.}$ Antisümmeetria. Mis tahes ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle {\text{II}}_{3}.}$ Transitiivsus. Mis tahes ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle {\text{II}}_{4}.}$ Lineaarne järjestatus. Mis tahes ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle {\text{II}}_{5}.}$ Liitmise ja järjestuse seos. Mis tahes ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$ korral

${\displaystyle {\text{II}}_{6}.}$Korrutamise ja järjestuse seos. Mis tahes ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ korral

 Pikemalt artiklis Reaalarvude hulga pidevus

${\displaystyle {\text{III}}_{1}.}$ Olgu antud mis tahes mittetühjad hulgad ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ja ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$, nõnda et mis tahes kahe elemendi ${\displaystyle a\in A}$ ja ${\displaystyle b\in B}$ korral kehtib võrratus ${\displaystyle a\leqslant b}$, siis leidub niisugune arv ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$, et kõigi ${\displaystyle a\in A}$ ja ${\displaystyle b\in B}$ korral kehtib seos

${\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}$

Neist aksioomidest piisab, et rangelt järeldada reaalarvude kõik teadaolevad omadused^[8].

Tänapäeva algebra keeles tähendavad esimese rühma aksioomid, et hulk ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on korpus. Teise rühma aksioomid tähendavad, et hulk ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on lineaarselt järjestatud hulk (${\displaystyle {\text{II}}_{1}}$ – ${\displaystyle {\text{II}}_{4}}$), kusjuures järjestusseos on kooskõlas korpuse struktuuriga (${\displaystyle {\text{II}}_{5}}$ – ${\displaystyle {\text{II}}_{6}}$. Hulki, mis rahuldavad esimese ja teise rühma aksioome, nimetatakse järjestatud korpusteks. Lõpuks, viimane rühm, mis koosneb ühest aksioomist, väidab, et reaalarvude hulgal on pidevuse omadus, mida nimetatakse ka täielikkuseks.

Kokkuvõttes võib anda reaalarvude hulga definitsiooni:

Definitsioon. Reaalarvude hulgaks nimetatakse pidevat järjestatud korpust.

On ka teisi reaalarvude aksiomaatikaid. Näiteks võib pidevuse aksioomi ${\displaystyle {\text{III}}_{1}.}$ asemel kasutada mis tahes muud sellega samaväärset tingimust või tingimuste rühma. Näiteks David Hilberti pakutud aksiomaatikas on rühmade ${\displaystyle {\text{I}}}$ ja ${\displaystyle {\text{II}}}$ aksioomid sisuliselt samad mis ülaltoodud aksiomaatikas, kuid aksioomi ${\displaystyle {\text{III}}_{1}}$ asemel kasutatakse järgmist kaht tingimust:

${\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}$ Archimedese aksioom. Olgu ${\displaystyle a>0}$^[9] ja ${\displaystyle b>0}$. Siis elementi ${\displaystyle a}$ saab liidetavana korrata nii palju kordi, et tulemiks saadav summa on suurem kui ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle {\text{III}}_{2}'.}$ Täielikkuse aksioom (Hilberti mõttes). Süsteemi ${\displaystyle \mathbb {R} }$ pole võimalik laiendada mitte ühegi süsteemini ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$, nõnda et hulga ${\displaystyle \mathbb {R} }$ elementide vaheliste endiste seoste säilides oleks ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ korral täidetud kõik aksioomid ${\displaystyle {\text{I}}}$–${\displaystyle {\text{II}}}$, ${\displaystyle {\text{III}}_{1}'.}$.

Seega võib anda järgmise samaväärse definitsiooni:

Definitsioon. Reaalarvude hulk on maksimaalne arhimeediline järjestatud korpus.

Aastal 1936 esitas Alfred Tarski reaalarvude aksiomaatika, mis koosneb ainult 8 aksioomist ja 4 algmõistest: reaalarvude hulk R, a binaarne seos täielik järjestus hulgal R, mida tähistab <, binaarne tehe liitmine hulgal R, mida tähistab +, ja konstant 1.

Seda aksiomaatikat kirjanduses mõnikord mainitakse, kuid üksikasju kunagi ei esitata, kuigi ta on ökonoomne ning tal on elegantsed metamatemaatilisi omadusi. See aksiomaatika on vähe tuntud, võib-olla sellepärast, et ta on teist järku. Tarski aksiomaatikat võib vaadelda versioonina tavalisest reaalarvude definitsioonist ainsa Dedekindi mõttes täieliku järjestatud korpusena; ent ta on muudetud tunduvalt lühemaks (näiteks aksioomid 4 ja 5 võtavad kokku tavalised neli Abeli rühma aksioomi).

Järjestuse aksioomid (algmõisted: R, <):

Aksioom 1

Kui x < y, siis ei pea paika, et y < x. See tähendab, "<" on asümmeetriline seos.

Aksioom 2

Kui x < z, siis leidub y, nii et x < y ja y < z. Teiste sõnadega, "<" on tihe hulgal R.

Aksioom 3

"<" on Dedekindi mõttes täielik. Formaalsemalt, kõikide X, Y ⊆ R korral, kui kõikide x ∈ X ja y ∈ Y korral x < y, siis leidub z, nii et kõikide x ∈ X ja y ∈ Y korral x ≤ z ja z ≤ y. Siin on u ≤ v lühend, mis tähendab "u < v või u = v".

Liitmise aksioomid (algmõisted: R, <, +):

Aksioom 4

x + (y + z) = (x + z) + y.

Aksioom 5

Kõikide x, y korral leidub z, nõnda ett x + z = y.

Aksioom 6

Kui x + y < z + w, siis x < z või y < w.

Ühikelemendi aksioomid (algmõisted: R, <, +, 1):

Aksioom 7

1 ∈ R.

Aksioom 8

1 < 1 + 1.

Nendest aksioomidest järeldub, et R on lineaarselt järjestatud Abeli rühm liitmise suhtes koos märgitud elemendiga 1. R on ka Dedekindi mõttes täielik ja jagatav.

See aksiomaatika ei anna esimest järku teooriat, sest aksioom 3 on formuleeritud kahe üldisuskvantoriga üle hulga R kõigi võimalike alamhulkade.

Tarski visandas (mittetriviaalse) tõestuse, kuidas nendest aksioomidest ja algmõistetest tuleneb binaarne tehe korrutamine, millel on oodatavad omadused, nõnda et R on täielik järjestatud korpus.

• Alfred Tarski, Jan Tarski (1994). Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, 4. trükk, USA: OUP. ISBN 978-0-19-504472-0.

Iga reaalarvu saab esitada kümnendmurdude abil lõpmatu kümnendarenduse kujul; näiteks

• 1 = 1,0000000... või 0,99999999...
  • ½ = 0,5000000... või 0,49999999...
  • -1/3 = -0,3333333...
  • 8/7 = 1,142857142857142857...
  • e = 2,718281828459045235...
  • 'L = 0,110001000000000000000001000...

Viimased kaks (Napieri arv ja Liouville'i arv) on mitteperioodilised kümnendmurrud ning seetõttu irratsionaalarvud, teised aga on perioodilised kümnendmurrud ning seega ratsionaalarvud.

Reaalarvude hulk ${\displaystyle \mathbb {R} }$ moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "·" korpuse (reaalarvude korpuse), mis on kompleksarvude korpuse ${\displaystyle \mathbb {C} }$ alamkorpus.

Reaalarvu mõiste tekkis ratsionaalarvu mõiste laiendamisel. Vajaduse selleks tingis vajadus väljendada mis tahes suuruse väärtust arvuna ning püüd laiendada tehete rakendatavust (juurimine, logaritmimine, algebraliste võrrandite lahendamine).

Esimeses arenenud arvusüsteemis, mis konstrueeriti vanakreeka matemaatikas, olid ainult naturaalarvud ja nendes suhted (proportsioonid), tänapäeva mõistes ratsionaalarvud. Ent peagi selgus, et geomeetrias ja astronoomias sellest ei piisa: näiteks ruudu diagonaali ja külje suhe ei ole esitatav ei naturaal- ega ratsionaalarvuna.

Olukorra lahendamiseks võttis Eudoxos kasutusele lisaks arvu mõistele geomeetrilise suuruse (lõigu pikkuse, pindala või ruumala) mõiste. Eudoxose teooria on meieni jõudnud Eukleidese esituses ("Elemendid", 5. raamat). Eudoxose teooria on oma olemuselt reaalarvude geomeetriline mudel. Tänapäeva seisukohast on arv niisuguse lähenemise puhul kahe homogeense suuruse (näiteks uuritava suuruse ja ühiksuuruse; ühiksuurused võisid olla omavahel ühismõõduta) suhe. Eudoxos jäi siiski ustavaks varasemale traditsioonile: ta ei vaadelnud sellist suhet arvuna; sellepärast tõestatakse "Elementides" paljud teoreemid arvude omaduste kohta uuesti suuruste jaoks. Dedekindi klassikaline reaalarvude konstruktsioon on oma põhimõtetelt väga lähedane Eudoxose esitusele. Ent Eudoxose mudel on mitmes suhtes ebatäielik: näiteks ei sisalda ta pidevuse aksioomi, puudub suuruste või nende suhete aritmeetiliste tehete üldine teooria, puuduvad negatiivsed arvud.

Olukord hakkas muutuma esimestel sajanditel pKr. Juba Diophantos Aleksandriast vaatles erinevalt varasemast traditsioonist murde samamoodi nagu naturaalarve, ning oma "Aritmeetika" 4. raamatus ta isegi kirjutas ühe tulemuse kohta: "Arv osutub mitteratsionaalseks." Pärast antiikteaduse lõppu nihkusid esiplaanile India ja islami matemaatikud, kes pidasid iga mõõtmistulemust arvuks. Tasapisi said sellised vaated valdavaks ka keskaegses Euroopas, kus esialgu eristati ratsionaalarve ja irratsionaalarve (sõna-sõnalt "mittemõistuspäraseid" arve), mida nimetati ka kujuteldavateks, absurdseteks, kurtideks jne. Irratsionaalarvude saamine täieõiguslikeks on seotud Simon Stevini töödega. Stevin kuulutas: "Jõuame järeldusele, et pole olemas mingeid absurdseid, irratsionaalseid, ebaõigeid, seletamatuid ega kurte arve, vaid arvude seas valitseb niisugune täius ja kooskõla, et meil tuleb ööd ja päevad mõtiskleda nende hämmastava lõpetatuse üle." Tema legaliseeris teatud reservatsioonidega ka negatiivsed arvud ning töötas välja ka kümnendmurdude teooria ja sümboolika; sellest ajast hakkasid need välja tõrjuma ebamugavaid kuuekümnendmurde.

Saja aasta pärast andis Isaac Newton oma "Universaalses aritmeetikas" (1707) (reaal)arvu klassikalise definitsiooni mõõtmistulemusena ühiketaloni suhtes: "Arv ei ole mitte niivõrd mitme ühiku kogum kui mingi suuruse abstraktne suhe teisesse temaga homogeensesse, mis on ühikuks võetud." Kaua aega peeti seda rakenduslikku definitsiooni piisavaks, nii et reaalarvude ja reaalarvuliste funktsioonide praktika seisukohast tähtsaid omadusi ei tõestatud, vaid neid peeti intuitiivselt ilmseteks (geomeetrilistel või kinemaatilistel kaalutlustel). Näiteks peeti ilmseks asjaolu, et pidev kõver, mille punktid asetsevad eri pooltel teatud sirgest, lõikab seda sirget. Puudus ka pidevuse range definitsioon. Sellepärast oli paljudes definitsioonides vigu või ebamääraseid või liiga laiu formuleeringuid.

Isegi veel siis, kui Augustin Louis Cauchy oli välja töötanud matemaatilise analüüsi range aluse, olukord ei muutunud, sest puudus reaalarvude teooria, millele matemaatiline analüüs oleks saanud tugineda. Sellepärast tegi Cauchy vigu, toetudes intuitsioonile seal, kus see viis vääradele järeldustele: ta eeldas näiteks et pidevate funktsioonide rea summa on alati pidev.

Esimese katse täita lünk matemaatika alustes tegi Bernard Bolzano oma artiklis "Puhtanalüütiline tõestus teoreemile, et mis tahes kahe väärtuse vahel, mis annavad vastupidise märgiga tulemid, on vähemalt üks võrrandi reaalarvuline juur" (1817). Selles teedrajavas töös ei ole veel reaalarvude terviklikku süsteemi, kuid juba esitatakse pidevuse tänapäevane definitsioon ja näidatakse, et sel alusel saab pealkirjas mainitud teoreemi rangelt tõestada. Hilisemas töös "Lõpmatuse paradoksid" esitas Bolzano reaalarvude üldise teooria visandi, mis on ideede poolest lähedane Georg Cantori hulgateooriale, kuid see tema töö jäi autori eluajal avaldamata ja ilmus alles 1851. Bolzano vaated olid ajast tunduvalt ees ega äratanud matemaatilises üldsuses tähelepanu.

Reaalarvu ranged teooriad rajasid 19. sajandi lõpus Georg Cantor, Richard Dedekind ja Karl Weierstrass, samuti Eduard Heine ja Charles Méray. Weierstrass, Dedekind ja Cantor esitasid erinevad, kuid samaväärsed reaalarvude konstruktsioonid.

• Kompleksarv
• Aleksandrovi sirge
• Suslini sirge