Cercle de Carlyle

En mathématiques, un cercle de Carlyle (du nom de son inventeur Thomas Carlyle) est un cercle associé à une équation du second degré, dans un plan muni d'un repère orthonormé. Le cercle a la propriété de construire les solutions de l'équation comme les intersections du cercle avec l'axe des abscisses. Les cercles de Carlyle sont notamment utilisés dans la construction à la règle et au compas de polygones réguliers.

Soit l'équation du second degré

${\displaystyle x^{2}-sx+p=0.}$

Le cercle dans le plan affine muni d'un repère cartésien admettant le segment passant par les points A(0, 1) et B(s, p) comme diamètre est appelé le cercle de Carlyle de l'équation^[1],[2],[3].

La propriété définissant le cercle de Carlyle peut être établie ainsi : l'équation du cercle avec le segment AB comme diamètre est

${\displaystyle x(x-s)+(y-1)(y-p)=0.}$

Les abscisses des points où le cercle intersecte l'axe des abscisses sont les racines de l'équation (obtenus en fixant y = 0 dans l'équation du cercle)

${\displaystyle x^{2}-sx+p=0.}$

Le problème de la construction d'un pentagone régulier est équivalent au problème de construction des racines de l'équation

${\displaystyle z^{5}-1=0.}$

Une racine de cette équation est z₀ = 1 qui correspond au point P₀(1, 0). En réduisant l'équation pour supprimer cette solution, il reste à déterminer les zéros de l'équation

${\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0.}$

Ces racines sont complexes et peuvent être représentées sous la forme ω, ω², ω³, ω⁴ avec ω = exp (2πi/5), correspondant aux points P₁, P₂, P₃, P₄. En notant

${\displaystyle p_{1}=\omega +\omega ^{4},\ p_{2}=\omega ^{2}+\omega ^{3}}$

on a, par calcul direct et en utilisant le fait que ω⁶ = ω et ω⁷ = ω²

${\displaystyle p_{1}+p_{2}=-1,\ p_{1}p_{2}=-1.}$

Donc p₁ et p₂ sont les racines de l'équation quadratique

${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

Le cercle de Carlyle associé à cette équation du second degré a donc un diamètre d'extrémités (0, 1) et (-1, -1), avec son centre en (-1/2, 0). Les cercles de Carlyle sont utilisés pour construire p₁ et p₂. Des définitions de p₁ et p₂, il suit également

${\displaystyle p_{1}=2\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right),p_{2}=2\cos \left({\frac {4\pi }{5}}\right).}$

Dès lors, on peut construire les points P₁, P₂, P₃ et P₄.

On peut suivre la procédure suivante pour construire un pentagone régulier avec des cercles de Carlyle^[3]:

1. Tracer un cercle qui sera circonscrit au pentagone et noter son centre O.
2. Tracer une ligne horizontale passant par O. Noter une des intersections avec le cercle comme le point B.
3. Tracer une ligne verticale passant par O. Noter une des intersections avec le cercle comme le pointA.
4. Construire le point M, milieu de O et B.
5. Tracer un cercle centré en M passant par A. Ce cercle est le cercle de Carlyle pour x² + x − 1 = 0. Marquer l'intersection avec la ligne horizontale à l'intérieur du cercle comme le point W et son intersection hors du cercle comme le point V. Ce sont les points d'abscisses p₁ et p₂.
6. Tracer un cercle de rayon OA et de centre W. Les deux intersections avec le cercle originel sont des sommets du pentagone.
7. Tracer un cercle de rayon OA et de centre V. Les deux intersections avec le cercle originel sont aussi des sommets du pentagone.
8. Le cinquième sommet est l'intersection de l'axe horizontal avec le cercle original.

Il existe une méthode similaire avec des cercles de Carlyle pour construire des heptadécagones réguliers^[3].

Pour construire un 257-gone régulier avec des cercles de Carlyle, il faut construire 24 cercles de Carlyle^[3]. L'un d'eux sert par exemple à résoudre l'équation x² + x − 64 = 0.

Il existe une méthode avec des cercles de Carlyle pour la construction du 65 537-gone régulier. Il y a cependant des problèmes pratiques pour l'implémentation d'une telle procédure^[3] ; en effet, un des cercles de Carlyle à construire est lié à l'équation x² + x − 2¹⁴ = 0.

Selon Howard Eves (1911–2004), le mathématicien John Leslie (1766-1832) décrit la construction géométrique de racines d'une équation du second degré avec un cercle dans son livre Elements of Geometry et remarque que cette idée a été donnée par son ancien étudiant Thomas Carlyle (1795–1881)^[4]. Cependant, si la description dans le livre de Leslie contient une construction de cercle analogue, elle n'est présentée qu'en termes géométriques élémentaires sans notion de système de coordonnées cartésiennes ou de racines d'équation quadratique^[5]:

« To divide a straight line, whether internally or externally, so that the rectangle under its segments shall be equivalent to a given rectangle. »

— John Leslie, Elements of Geometry, prop. XVII, p. 176^[5]

En 1867, l'ingénieur autrichien Eduard Lill publie une méthode graphique pour déterminer les racines d'un polynôme (orthogone de Lill). Appliquée à un polynôme du second degré, on obtient la figure de trapèze de la solution de Carlyle au problème de Leslie avec un des côtés étant le diamètre du cercle de Carlyle. Dans un article de 1925, G. A. Miller ajoute qu'une petite modification dans la méthode de Lill appliquée à une fonction quadratique normée mène à un cercle qui permet la construction géométrique des racines de cette fonction et donne une définition explicite de ce qui sera appelé par la suite cercle de Carlyle^[6].

Eves utilise le cercle dans un de ses exercices de son livre Introduction to the History of Mathematics (1953) et fait le lien avec les travaux de Leslie et Carlyle^[4]. Des publications ultérieures introduisent les noms de cercle de Carlyle, méthode de Carlyle ou algorithme de Carlyle, mais on parle plutôt dans les pays germanophones de cercle de Lill (Lill-Kreis)^[7]. DeTemple utilise en 1989 et 1991 des cercles de Carlyle pour la construction à la règle et au compas de polygones réguliers, notamment les exemples donnés dans l'article. Ladislav Beran décrit en 1999, comment le cercle de Carlyle peut être utilisé pour construire les racines complexes d'une fonction quadratique normée^[8]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carlyle circle » (voir la liste des auteurs).

• Portail de l’algèbre