Constante de Carter

La constante de Carter est, en relativité générale, une constante du mouvement pour des particules qui suivent des géodésiques de l'espace-temps associé à un trou noir en rotation de Kerr ou de Kerr-Newmann^[1]. C'est une fonction quadratique de la quantité de mouvement de la particule^[1]. Elle correspond à la quatrième constante du mouvement dans les métriques décrivant les trous noirs en rotation, assurant ainsi que les trajectoires de particules uniquement soumises au champ de gravitation de ces objets sont intégrables.

L'éponyme^[1] de la constante de Carter^[1],[2] (en anglais : Carter constant)^[1],[3] est le physicien australien Brandon Carter (1942-)^[1],[4] qui en a découvert l'existence en 1968^[1],[4],[5] à partir de la séparabilité^[5] de l'équation de Hamilton-Jacobi^[1],[5],[6].

Soit une particule test de masse au repos ${\displaystyle \mu }$ et de charge électrique ${\displaystyle e}$ se mouvant dans le champ extérieur d'un trou noir^[7] de Kerr-Newmann^[8]. La constante de Carter, associée à la particule, est donnée par^[9],[10] :

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left[a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\sin ^{-2}\theta \,L_{z}^{2}\right]}$,

où :

• ${\displaystyle \cos }$ et ${\displaystyle \sin }$ sont respectivement le cosinus et le sinus ;
• ${\displaystyle \mu }$ est la masse au repos^[11] ;
• ${\displaystyle E}$ est l'énergie à l'infini^[12] ;
• ${\displaystyle L_{z}}$ est la composante axiale du moment cinétique^[13].

La constante K est souvent utilisée à la place de la constante C^[14] :

${\displaystyle K=C+\left(L_{z}-aE\right)^{2}}$.

La formulation la plus élégante de la constante de Carter fait appel au formalisme des tenseurs de Killing, objets dont l'existence assure celle d'une constante du mouvement associée. Ce tenseur de Killing s'écrit sous la forme

${\displaystyle K_{ab}=2\Sigma l_{(a}n_{b)}-r^{2}g_{ab}}$,

où les vecteurs l et n sont définis par

${\displaystyle l^{a}={\frac {1}{\Delta }}\left((r^{2}+a^{2})\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}+a\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{a}+\Delta \left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{a}\right)}$,

${\displaystyle n^{a}={\frac {1}{2\Sigma }}\left((r^{2}+a^{2})\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}+a\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{a}-\Delta \left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{a}\right)}$,

la quantité a représentant le moment cinétique par unité de masse du trou noir exprimé dans le système d'unités géométriques (tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation ont pour valeur numérique 1), et le système de coordonnées ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ utilisé est celui dit de Boyer-Lindquist, utilisé habituellement pour décrire les métriques de ces objets.

Avec l'ensemble de ces notations, la constante de Carter, traditionnellement notée C, vaut

${\displaystyle C=K_{ab}u^{a}u^{b}}$,

où u est la quadrivitesse décrivant la trajectoire considérée, le long de laquelle C est donc constante.

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• (en) Soichiro Isoyama, Ryuichi Fujita, Hiroyuki Nakano, Norichika Sago et Takahiro Tanaka, « Evolution of the Carter constant for a resonant inspiral into a Kerr black hole: I. The scalar case », Progress of Theoretical and Experimental Physics, vol. 2013, n^o 6,‎ juin 2013, p. 063E01 (DOI 10.1093/ptep/ptt034, Bibcode 2013PTEP.2013f3E01I, arXiv 1302.4035, lire en ligne [PDF], consulté le 28 août 2014)
• [Camenzind 1997] M. Camenzind (trad. de l'all. par A. Boucher), Les noyaux actifs de galaxies : galaxies de Seyfert, QSO, quasars, lacertides et radiogalaxies, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « LNP / M » (n^o m46), mai 1997, 1^re éd., 1 vol., XVIII-218, ill., 24 cm (ISBN 3-540-62869-X, EAN 9783540628699, OCLC 489807505, BNF 37752178, DOI 10.1007/978-3-540-69034-4, Bibcode 1997lnad.book.....C, SUDOC 007732961, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 3 (« Les trous noirs en rotation »), § 3.4 (« Mécanique céleste dans le champ gravitationnel des trous noirs en rotation »), p. 84-90. 
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• [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Carter (constante de), p. 102, col. 1. 

• Trou noir de Kerr
• Trou noir de Kerr-Newmann
• Équations de Hamilton-Jacobi

• [Gourgoulhon 2014] É. Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introd. à la relativité générale, donné en 2^de an. du master Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France (observ. de Paris, univ. Paris-VI, VII et XI, ENS), an. univ. 2013-2014), mars 2014, 1 vol., 341, 21 × 29,7 cm (présentation en ligne, lire en ligne).

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