Formule de trigonométrie

En mathématiques, une formule de trigonométrie est une relation faisant intervenir des fonctions trigonométriques, vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation. Ces formules peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.

Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement. Elles servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.

Notation : si ƒ est une fonction trigonométrique, ƒ² désigne la fonction qui à tout réel x associe le carré de ƒ(x). Par exemple : cos² x = (cos x)².

Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part des définitions

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \ldots }$

et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore, notamment :

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\quad \tan ^{2}\theta +1={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }},\quad \cot ^{2}\theta +1={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}.}$

Relations entre fonctions trigonométriques dans le premier quadrant (${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant {\tfrac {\pi }{2}}}$)^[1], éventuellement non valables en 0 ou ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

	cos	sin	tan	cot	sec	csc
cos		${\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$
sin	${\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$		${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\csc \theta }}}$
tan	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$		${\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
cot	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}}$		${\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \cot \theta ={\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
sec	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}$		${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
csc	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$

Parité - Réflexion d'axe (θ = 0)	Réflexion d'axe (θ = π/4)	Réflexion d'axe (θ = π/2)
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}$

Note : Toutes ces formules sont également utilisables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : par exemple,${\displaystyle \sin({\tfrac {\pi }{2}}+\theta )=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-(-\theta ))=\cos(-\theta )}$. Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.

Décalage de π/2	Décalage de π (Période de tan et cot)	Décalage de 2π (Période de sin et cos)
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}$

Certaines des relations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes^[2] :

${\displaystyle \cos a=\cos b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad {\text{ou}}\quad a=-b+2k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \sin a=\sin b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad {\text{ou}}\quad a=\pi -b+2k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \tan a=\tan b\Leftrightarrow a=b+k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )}$

Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus^[3],[4] :

${\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}$

${\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$

En remplaçant b par son opposé, on obtient aussi les formules de différence^[4] :

${\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b}$

${\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b}$

Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les formules d'Euler.

Il existe de nombreuses autres démonstrations possibles, utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire (en évaluant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs (cos a, sin a) et (cos b, sin b), la propriété du changement de repère ou encore la démonstration matricielle ci-dessous.

On en déduit les formules d'addition et de différence pour la tangente et la cotangente. Par exemple pour l'addition^{[N 1]} :

${\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}\quad {\rm {et}}\quad \cot(a+b)={\frac {\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b}}}$.

Exemple

${\displaystyle \tan(x+\pi /4)={\frac {1+\tan x}{1-\tan x}}}$.

Plus généralement, la tangente d'une somme de n angles^[5] (resp. la cotangente) s'exprime en fonction des tangentes (resp. des cotangentes) de ces angles :

${\displaystyle \tan(\theta _{1}+\ldots +\theta _{n})={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}+\sigma _{5}-\ldots }{1-\sigma _{2}+\sigma _{4}-\ldots }}(\tan \theta _{1},\ldots ,\tan \theta _{n})\quad {\rm {et}}\quad \cot(\theta _{1}+\ldots +\theta _{n})={\frac {\sigma _{n}-\sigma _{n-2}+\sigma _{n-4}-\ldots }{\sigma _{n-1}-\sigma _{n-3}+\sigma _{n-5}-\ldots }}(\cot \theta _{1},\ldots ,\cot \theta _{n})}$

où les σ_k (pour 0 ≤ k ≤ n) sont les polynômes symétriques élémentaires. Pour n impair, il s'agit de la même fraction rationnelle ; par exemple pour n = 3^{[N 2]} :

${\displaystyle \tan(a+b+c)=F(\tan a,\tan b,\tan c)\quad {\rm {et}}\quad \cot(a+b+c)=F(\cot a,\cot b,\cot c)\quad {\rm {avec}}\quad F(u,v,w)={\frac {u+v+w-uvw}{1-(uv+uw+vw)}}.}$

Une autre conséquence intéressante de la formule d'addition pour sin est qu'elle permet de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus : ${\displaystyle \alpha \sin x+\beta \cos x={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}~\sin(x+\varphi )}$ où ${\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(\beta /\alpha )}$ si α est positif et ${\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(\beta /\alpha )+\pi }$ sinon.

Appelées aussi « formules d'angle double », elles peuvent être obtenues, pour les deux premières^[6], en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition ou en utilisant la formule de Moivre avec n = 2. Les deux suivantes se déduisent de l'identité cos²x + sin²x = 1.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x,\\\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x,\\\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2\cot x}{\cot ^{2}x-1}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}.\end{aligned}}}$

Ces formules^[7],[8] permettent d'écrire cos²x et sin²x, donc aussi tan²x, en fonction du cosinus de l'angle double :

${\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos(2x)}{2}},\quad \sin ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{2}}\quad {\rm {et}}\quad \tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}.}$

${\displaystyle \left|\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}},\qquad \left|\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}}$

Si l'on pose, pour x ≠ π + 2kπ,

${\displaystyle t=\tan(x/2)}$,

on a^[9]

${\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad {\rm {et}}\quad \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}\quad {\rm {donc}}}$^{[N 3]} ${\displaystyle {}\quad \tan x={\frac {2t}{1-t^{2}}}.}$

Dans le cas de changement de variable en intégration, on ajoutera la relation ^[9] : ${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}}$.

Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité.

Les égalités suivantes, du nom de Thomas Simpson, ont servi historiquement aux calculs en goniométrie.

${\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}$

${\displaystyle \sin a\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}}$

${\displaystyle \sin a\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}}$

${\displaystyle \cos a\sin b={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\ }$ (équivalente à la précédente par interversion de a et b).

Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition et de différence.

${\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}}$

${\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}}$

${\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}}$

${\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}}$ (équivalente à la précédente en remplaçant q par –q).

Il suffit de remplacer a par p + q/2 et b par p – q/2 dans les formules de transformation de produit en somme. On en déduit une généralisation des formules de la tangente de l'angle moitié :

${\displaystyle \tan {\frac {p+q}{2}}={\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}=-{\frac {\cos p-\cos q}{\sin p-\sin q}}}$.

Par ailleurs, on déduit directement de la formule d'addition pour sin :

${\displaystyle \tan p+\tan q={\frac {\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}}}$.

Article détaillé : Formule d'Euler.

${\displaystyle \cos x={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}=\cosh {\rm {i}}x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2{\rm {i}}}}=-{\rm {i}}\sinh {\rm {i}}x}$

où i est l'unité imaginaire. On en déduit que

${\displaystyle \tan x={\frac {{\rm {i}}\left(1-{\rm {e}}^{2{\rm {i}}x}\right)}{1+{\rm {e}}^{2{\rm {i}}x}}}=-{\rm {i}}\tanh {\rm {i}}x}$

La formule de Moivre s'écrit :

${\displaystyle \cos(nx)+{\rm {i}}\sin(nx)=(\cos x+{\rm {i}}\sin x)^{n}}$.

Par la formule du binôme, elle équivaut à :

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k}\cos ^{n-2k}x~\sin ^{2k}x\quad {\text{et}}\quad \sin(nx)=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n-1}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k+1}\cos ^{n-2k-1}x~\sin ^{2k+1}x}$.

Compte tenu de sin² x = 1 – cos²x, si l'on pose

${\displaystyle T_{n}=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k}X^{n-2k}(1-X^{2})^{k}\quad {\text{et}}\quad U_{n}=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n-1}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k+1}X^{n-2k-1}(1-X^{2})^{k}}$,

on a cos(nx) = T_n(cos x) et sin((n+1)x) = sin(x) U_n(cos x).

Le polynôme T_n (resp. U_n) est le n-ième polynôme de Tchebychev de première (resp. seconde) espèce.

Par exemple

${\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x,\,\sin 3x=\sin x(4\cos ^{2}x-1)=-4\sin ^{3}x+3\sin x}$.

La formule de Moivre permet aussi d'exprimer tan(nx) en fonction de tan x par la relation

${\displaystyle \tan nx={\frac {{\text{Im}}(1+{\rm {i}}\tan x)^{n}}{{\text{Re}}(1+{\rm {i}}\tan x)^{n}}}}$.

Par exemple

${\displaystyle \tan 3x={\frac {\tan ^{3}x-3\tan x}{3\tan ^{2}x-1}}}$.

La linéarisation d'une expression cos^px sin^qx a pour but de l'exprimer comme combinaison linéaire de divers cos(nx) (si q est pair) ou sin(nx) (si q est impair) — par exemple pour en calculer une primitive. On peut utiliser soit les formules de transformation de produits en sommes ci-dessus, soit les formules d'Euler : ${\displaystyle \cos ^{p}x\sin ^{q}x=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{p}\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2{\rm {i}}}}\right)^{q}.}$

Il suffit ensuite de

• développer chacun des deux facteurs grâce à la formule du binôme de Newton,
• développer le produit des deux sommes obtenues (par distributivité),
• simplifier les termes en utilisant que${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}kx}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\ell x}={\rm {e}}^{{\rm {i}}(k+\ell )x},}$
• puis les regrouper, sachant que ${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2\cos(nx)\quad {\rm {et}}\quad {\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2{\rm {i}}\sin(nx).}$

Si l'un des deux exposants p ou q est nul, en appelant « degré » la valeur de l'autre, on a :

Les sommes ${\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )}$ et ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )}$ ont les expressions closes suivantes, pour ${\displaystyle \theta \neq 0\mod 2\pi }$ :

${\displaystyle C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\cos \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\sin \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)}$

.

On démontre ces formules en remarquant que ${\displaystyle C_{n}+iS_{n}={\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }\sum _{k=0}^{n}({\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })^{k}}$ et en utilisant les sommes de suites géométriques, ou en multipliant par ${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}}$ et en linéarisant.

On en déduit que ${\displaystyle {\frac {S_{n}}{C_{n}}}=\tan \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)}$.

Pour ${\displaystyle \theta =0\mod 2\pi }$, ${\displaystyle C_{n}=(n+1)\cos \varphi ,\,S_{n}=(n+1)\sin \varphi }$.

Ces formules permettent d'exprimer le noyau de Dirichlet D_n , fonction définie par :

pour tout réel x, ${\displaystyle D_{n}(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}}$

Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier.

Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

${\displaystyle y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left[{\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]}$

${\displaystyle y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left[0,\pi \right]}$

${\displaystyle y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left]{\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[}$

Si ${\displaystyle x>0}$ alors

${\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}}$.

Si ${\displaystyle x<0}$ alors

${\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}}$.

On a également l'identité suivante :

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi }$

où

${\displaystyle k=0\quad {\text{si}}\quad xy<1}$

${\displaystyle k=1\quad {\text{si}}\quad xy>1\quad {\text{et}}\quad x>0}$

${\displaystyle k=-1\quad {\text{si}}\quad xy>1\quad {\text{et}}\quad x<0}$.

Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore.

Relations entre fonctions trigonométriques réciproques

	arcsin	arccos	arctan	arccot
arcsin		${\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x}$	${\displaystyle \arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arccot} {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
arccos	${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}$		${\displaystyle \arccos x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}$	${\displaystyle \arccos x=\operatorname {arccot} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
arctan	${\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \arctan x={\begin{cases}-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x<0\\+\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}$		${\displaystyle \arctan x={\begin{cases}\pi +\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}$
arccot	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {1}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {1}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}$

Relations de composition

	arcsin	arccos	arctan	arccot
sin		${\displaystyle \sin \arccos x={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \sin \arctan x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \sin \operatorname {arccot} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
cos	${\displaystyle \cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}$		${\displaystyle \cos \arctan x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos \operatorname {arccot} x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
tan	${\displaystyle \tan \arcsin x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan \arccos x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$		${\displaystyle \tan \operatorname {arccot} x={\frac {1}{x}}}$
cot	${\displaystyle \cot \arcsin x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$	${\displaystyle \cot \arccos x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cot \arctan x={\frac {1}{x}}}$

Soit ABC un triangle, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α, β et γ pour les mesures des angles et, d'autre part, a, b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles (voir figure ci-contre). Alors on a :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \ \gamma .}$

En notant de plus S l'aire du triangle et R le rayon de son cercle circonscrit (voir figure ci-contre), on a :

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R.}$

D'autre part, S est le produit du demi-périmètre p = a + b + c/2 par le rayon r du cercle inscrit.

${\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}}$.

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}$.

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {p-a}{r}}}$.

En utilisant le fait que ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }$ on obtient de nombreuses relations trigonométriques, dont par exemple :

${\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }$

${\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$

• Richard Feynman s'est rappelé toute sa vie cette curieuse identité, qu'il appelait loi de Morrie :

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\tfrac {1}{8}}}$.

Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable ; elle s'obtient à partir de l'égalité :

${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}}$.

• Autres exemples :

${\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}+\cos 3{\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{15}}+\cos 2{\frac {2\pi }{15}}+\cos 4{\frac {2\pi }{15}}+\cos 7{\frac {2\pi }{15}}={\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos 2{\frac {2\pi }{21}}+\cos 4{\frac {2\pi }{21}}+\cos 5{\frac {2\pi }{21}}+\cos 8{\frac {2\pi }{21}}+\cos 10{\frac {2\pi }{21}}={\frac {1}{2}}.}$

Les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 sont les entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21.

Ces exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans ces relations.

• Dans cet article, on trouvera des identités faisant intervenir l'angle ${\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}$ , comme ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}-\cos {\frac {2\pi }{7}}+\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{2}}}$
• et dans celui-ci, des identités faisant intervenir l'angle ${\displaystyle \pi \over 9}$, comme ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}-\cos {\frac {2\pi }{9}}+\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{2}}}$.
• Autres identités classiques^{[N 4]} :
  • ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{2n}}=1}$, dont on déduit ${\displaystyle \tan 1^{\circ }\tan 2^{\circ }...\tan 89^{\circ }=1}$.
  • ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sin ^{2}{k{\frac {\pi }{n}}}={\frac {n}{2}}}$, dont on déduit ${\displaystyle \sin ^{2}1^{\circ }+\sin ^{2}2^{\circ }+\cdots +\sin ^{2}89^{\circ }=\cos ^{2}1^{\circ }+\cos ^{2}2^{\circ }+\cdots +\cos ^{2}89^{\circ }=89/2}$.
  • ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$, dont on déduit ${\displaystyle \sin 1^{\circ }\sin 2^{\circ }...\sin 89^{\circ }=\cos 1^{\circ }\cos 2^{\circ }...\cos 89^{\circ }={\sqrt {\frac {180}{2^{179}}}}}$.

En analyse, il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.

La signification géométrique du sinus et de la tangente « montre^[10] » — et le théorème des accroissements finis démontre — que

${\displaystyle \forall x\in \left]0,\pi /2\right[\quad \sin(x)<x<\tan(x).}$

Cet encadrement est souvent utilisé ; deux exemples en sont la méthode d'Archimède pour le calcul du nombre π (voir quadrature du cercle) et le problème de Bâle.

En changeant x en arctan x , on obtient :

${\displaystyle \forall x>0\quad {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}<\arctan x<x.}$

En changeant x en arcsin x, on obtient :

${\displaystyle \forall x\in \left]0,1\right[\quad x<\arcsin x<{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Les dérivées de sin et cos peuvent se déduire l'une de l'autre par décalage de π/2. Elles sont :

${\displaystyle \sin '=\cos ,\quad \cos '=-\sin .}$

Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation. Par exemple :

${\displaystyle \tan '=1+\tan ^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}}}=\sec ^{2},}$ ${\displaystyle \cot '=-1-\cot ^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}}}=-\csc ^{2},}$ ${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$ ${\displaystyle \arccos '=-\arcsin ',}$ ${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des primitives de fonctions trigonométriques.

Fonctions trigonométriques

Écriture	Expression	Ensemble de départ	Ensemble d'arrivée	Dérivée	Argument complexe
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2\,\mathrm {i} }}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle [-1;1]}$	${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle \sin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {sinh} x}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle [-1;1]}$	${\displaystyle -\sin x}$	${\displaystyle \cos \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {cosh} x}$
${\displaystyle \tan x}$	${\displaystyle \mathrm {i} {\frac {1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}}{1+\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle 1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$	${\displaystyle \tan \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {tanh} x}$
${\displaystyle \cot x}$	${\displaystyle \mathrm {i} {\frac {\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}+1}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}-1}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle -\left(1+\cot ^{2}x\right)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}$	${\displaystyle \cot \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {coth} x}$
${\displaystyle \sec x}$	${\displaystyle {\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sin x\cdot \tan x}$	${\displaystyle \sec \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {sech} x}$
${\displaystyle \csc x}$	${\displaystyle {\frac {2\,\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[}$	${\displaystyle -{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\cos x\cdot \cot x}$	${\displaystyle \csc \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {csch} x}$

Fonctions trigonométriques réciproques

Écriture	Expression	Ensemble de départ	Ensemble d'arrivée	Dérivée	Argument complexe
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle \mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-x^{2}}}-\mathrm {i} x\right)}$	${\displaystyle [-1;1]}$	${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right]}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \arcsin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {arsinh} x}$
${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle \mathrm {i} \ln \left(x-\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$	${\displaystyle [-1;1]}$	${\displaystyle \left[0;\pi \right]}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \arccos \left(\mathrm {i} x\right)={\tfrac {\pi }{2}}-\mathrm {i} \operatorname {arsinh} x}$
${\displaystyle \arctan x}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {1-\mathrm {i} \,x}{1+\mathrm {i} \,x}}}$	× × €4.95 / month Favourites List Audio Listining Color Mode Monthly New Updates Fullname * Email * Credit or debit card Subscribe A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 68 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 68 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once "> Subscribe Now × €4.95 € 9.90 / Modal title × Close Save changes × Formule_de_trigonométrie" id="cancelSubscription" name="cancelSubscription" class="mb-0"> A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: user_membership Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 208 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 208 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once "> Harry Potter Books × A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: products Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once