Opérateur laplacien vectoriel

En analyse vectorielle, le laplacien vectoriel est un opérateur différentiel pour les champs vectoriels. Il présente beaucoup de similitudes avec l'opérateur laplacien scalaire.

Dans un espace euclidien, le laplacien vectoriel se définit le plus simplement en se plaçant dans un système de coordonnées cartésiennes. Dans ce cas, le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs quelconque A a pour composantes le laplacien des composantes de A. En d'autres termes, dans un espace à trois dimensions, si l'on écrit

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=A^{x}{\boldsymbol {u}}_{x}+A^{y}{\boldsymbol {u}}_{y}+A^{z}{\boldsymbol {u}}_{z}}$,

alors le laplacien vectoriel de A s'écrit

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {A}}=(\Delta A^{x}){\boldsymbol {u}}_{x}+(\Delta A^{y}){\boldsymbol {u}}_{y}+(\Delta A^{z}){\boldsymbol {u}}_{z}}$.

À partir de l'expression en coordonnées cartésiennes, on peut exprimer le laplacien dans tout autre système de coordonnées, puisqu'une fois le nouveau système de coordonnées défini, on peut exprimer les vecteurs de la nouvelle base en fonction de ceux de la base cartésienne, tout comme on peut exprimer les dérivées partielles par rapport aux nouvelles coordonnées en fonction des dérivées partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes. À trois dimensions, une méthode alternative (mais guère plus rapide) consiste à utiliser la formule du rotationnel du rotationnel, qui s'écrit pour tout champ de vecteurs :

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge ({\boldsymbol {\nabla }}\wedge {\boldsymbol {A}})={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}})-\Delta {\boldsymbol {A}}}$.

On obtient ainsi les formules suivantes :

Dans le système de coordonnées cylindriques usuel r, θ, z, on a :

${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta A}}={\begin{array}{l}\displaystyle \quad \left({\frac {\partial ^{2}A^{r}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A^{r}}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A^{r}}{\partial r}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A^{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {A^{r}}{r^{2}}}\right){\boldsymbol {u}}_{r}\\\displaystyle +\left({\frac {\partial ^{2}A^{\theta }}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A^{\theta }}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A^{\theta }}{\partial r}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A^{r}}{\partial \theta }}-{\frac {A^{\theta }}{r^{2}}}\right){\boldsymbol {u}}_{\theta }\\\displaystyle +\left({\frac {\partial ^{2}A^{z}}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{z}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A^{z}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A^{z}}{\partial r}}\right){\boldsymbol {u}}_{z}\end{array}}}$.

Dans le système de coordonnées sphériques usuel r, θ, φ, on a :

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {A}}={\begin{array}{l}\displaystyle \quad \left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}(rA^{r})}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}A^{r}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial A^{r}}{\partial \theta }}-{\frac {2A^{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A^{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {2\cot \theta }{r^{2}}}A^{\theta }-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial A^{\varphi }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {u}}_{r}\\\displaystyle +\left({\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial A^{r}}{\partial \theta }}-{\frac {A^{\theta }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}(rA^{\theta })}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}A^{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial A^{\theta }}{\partial \theta }}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\cot \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial A^{\varphi }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {u}}_{\theta }\\\displaystyle +\left({\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial A^{r}}{\partial \varphi }}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\cot \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial A^{\theta }}{\partial \varphi }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}(rA^{\varphi })}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{\varphi }}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}A^{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\cot \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial A^{\varphi }}{\partial \theta }}-{\frac {A^{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right){\boldsymbol {u}}_{\varphi }\end{array}}}$

Le laplacien vectoriel est présent en particulier :

• en électromagnétisme ;
• en mécanique des fluides visqueux où il apparait dans les équations de Navier-Stokes ;
• dans la formule du rotationnel du rotationnel (qui est à l'origine de son irruption en électromagnétisme).

• Analyse vectorielle
• Opérateur laplacien

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de la divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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