Représentation d'interaction

La représentation d'interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps.

Dans la représentation d'interaction, on applique les hypothèses suivantes :

On considère un hamiltonien ayant la forme suivante :

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$

où ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ est constant dans le temps et ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ décrit une interaction perturbative qui peut dépendre du temps.

• Les états propres sont dépendants du temps
• Les opérateurs sont aussi dépendants du temps
• La dynamique des états est décrite suivant la représentation de Schrödinger tandis que la dynamique des opérateurs est décrite suivant la représentation de Heisenberg.
• La représentation de Dirac ne s'applique efficacement qu'à certains problèmes. L'exemple le plus parlant est celui des perturbations dépendant du temps.

Afin de reconnaître qu'on travaille dans la représentation d'interaction, les états et les opérateurs seront suivis de l'indice « I » (comme interaction). Le sens de cette représentation tient en ce que la dépendance en temps due à ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ sera prise en compte dans la dépendance explicite des observables en fonction du temps et la dépendance en temps due à ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ dans le développement de la fonction d'onde. C'est une autre façon de décrire la même physique. Ceci signifie que les grandeurs physiques significatives sont inchangées.

Il y a deux opérateurs d'évolution dans le temps :

• l'opérateur "normal" relatif à l'hamiltonien complet ${\displaystyle {\hat {H}}}$ :

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }}$

• l'opérateur relatif à l'hamiltonien non perturbé ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ :

${\displaystyle {\hat {U}}_{0}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})/\hbar }}$

L'opérateur dépendant du temps ${\displaystyle {\hat {A}}_{I}(t)}$ s'écrit comme dans la représentation de Heisenberg

${\displaystyle A_{I}(t)={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {A}}_{S}(t_{0}){\hat {U}}_{0}(t,t_{0})={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}{\hat {A}}_{S}(t_{0}){\rm {e}}^{-{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}}\,.}$

l'état dépendant du temps ${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{I}}$ n'est accessible qu'indirectement, par réduction (dans la représentation de Schrödinger) de l'état de la dynamique complète ${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\rm {S}}}$,afin de définir.

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{I}={\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})|\psi (t)\rangle _{S}={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}|\psi (t)\rangle _{S}\,.}$

À partir de là nous définissons aussi l'opérateur dépendant du temps ${\displaystyle H_{I}(t)}$:

${\displaystyle {\hat {H}}_{I}(t)={\rm {e}}^{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}{\rm {e}}^{-{\frac {i\,{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}{\hbar }}}\,={\hat {H}}_{0}.}$

L'évolution de la fonction d'état s'écrit dans cette représentation:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle ={\hat {V}}_{I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle }$.

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Schwinger-Tomonaga. L'évolution de la grandeur physique représentée par l'opérateur A s'écrit:

${\displaystyle i\,\hbar {\frac {{\rm {d}}{\hat {A}}_{I}}{{\rm {d}}t}}=\left[{\hat {A}}_{\rm {I}}(t),{\hat {H}}_{0}\right]+i\,\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{I}}{\partial t}}}$

Représentation :

	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket	constant	${\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{I}=U_{0}^{-1}|\Psi (t)\rangle _{S}}$	${\displaystyle |\Psi (t)\rangle _{S}=U|\Psi (t_{0})\rangle _{S}}$
Observable	${\displaystyle A_{H}(t)=U^{-1}A_{S}U}$	${\displaystyle A_{I}(t)=U_{0}^{-1}A_{S}U_{0}}$	constant
Opérateur d'évolution	${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)}$	${\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}}$ ${\displaystyle U_{0}(t,t_{0})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}_{0}(t-t_{0})}}$
Mécanique quantique : Théorème d'Ehrenfest Équation de Schrödinger Propagateur

• A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod)
• J. L. Basdevant, Cours de mécanique quantique de l'école Polytechnique (Ellipses)
• J. J. Sakurai et s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003

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