Théorie de Chern-Simons

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La théorie de Chern-Simons est une théorie quantique des champs topologique (en) introduite par Edward Witten pour étudier les invariants topologiques des variétés de dimension 3. Elle est nommée après les mathématiciens Shiing-Shen Chern et James Simons. En particulier, elle permet de donner une interprétation physique au polynôme de Jones.

Sur une variété ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ de dimension 3 sur laquelle vit un champ de jauge ${\displaystyle A}$, on définit l'action de Chern-Simons par

${\displaystyle S={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathcal {M}}{\text{Tr}}\left(A\wedge {\rm {d}}A+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A\right).}$

Plus précisément, on considère un fibré G-principal au-dessus de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ayant pour fibre et pour groupe structural un groupe de jauge ${\displaystyle G}$ dont la connexion est ${\displaystyle A}$.

• Nicolai Reshetikhin
• Vladimir Touraïev

• S.-S. Chern et J. Simons, « Characteristic forms and geometric invariants », Annals of Mathematics, vol. 99, n^o 1,‎ 1974, p. 48–69 (DOI 10.2307/1971013)
• Edward Witten, « Topological Quantum Field Theory », Commun. Math. Phys., vol. 117,‎ 1988, p. 353 (DOI 10.1007/BF01223371, Bibcode 1988CMaPh.117..353W, lire en ligne)

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