חבורה יסודית

בטופולוגיה אלגברית החבורה היסודית היא חבורה המותאמת למרחבים טופולוגיים, ומהווה שמורה בסיסית וחשובה המאפיינת את טיפוס ההומוטופיה של המרחב. החבורה היסודית נקראת גם חבורת ההומוטופיה הראשונה של המרחב.

לפני שתינתן הגדרה מדויקת, נתאר תחילה את הרעיון המרכזי במושגים לא מתמטיים. ניקח מרחב כלשהו ונקודה בתוכו, ונתבונן באוסף הלולאות בנקודה זו (נקודת הבסיס), כלומר המסילות הרציפות המתחילות ומסתיימות בנקודה שנבחרה. איברי החבורה היסודית יתאימו למסילות כאלו, כאשר נרצה לזהות בין מסילות שהן הומוטופיות, כלומר מסילות שניתן לעבור בין אחת לשנייה על ידי עיוות רציף.

על מנת להגדיר את הפעולה בחבורה, נשים לב שכיוון שהלולאות מתחילות ומסתיימות באותה נקודה, ניתן להרכיב מכל שתי לולאות לולאה אחת - ראשית "נטייל" לאורך הלולאה הראשונה, ולאחר מכן לאורך הלולאה השנייה. הרכבה זו מגדירה למעשה את הפעולה בחבורה היסודית.

נניח כי X הוא מרחב טופולוגי וכי ${\displaystyle x_{0}\in X}$. פונקציה רציפה ${\displaystyle \,f:[0,1]\rightarrow X}$ תיקרא לולאה עם נקודת בסיס ${\displaystyle \,x_{0}}$ אם מתקיים ${\displaystyle f(0)=f(1)=x_{0}}$. בהינתן 2 לולאות ${\displaystyle \ f,g:[0,1]\rightarrow X}$ עם נקודת בסיס ${\displaystyle \,x_{0}}$, נאמר ש-f ו-g הן הומוטופיות אם קיימת פונקציה רציפה ${\displaystyle h:[0,1]\times [0,1]\to X}$ כך שלכל ${\displaystyle t\in [0,1]}$ מתקיים ש-${\displaystyle h(t,0)=f(t)\ ,\ h(t,1)=g(t)}$, וכמו כן ${\displaystyle \ h(0,t)=h(1,t)=x_{0}}$. במקרה זה, h תיקרא הומוטופיה בין f ל-g. היחס שהגדרנו מהווה יחס שקילות על קבוצת כל הלולאות על X, ומחלקות השקילות מהוות את איברי החבורה היסודית של X ביחס לנקודת הבסיס ${\displaystyle x_{0}}$. מבחינה אינטואיטיבית, ניתן לראות בפרמטר השני של הפונקציה h פרמטר המתאר את הזמן, כך שבזמן 0 אנו נמצאים בלולאה f, בזמן 1 בלולאה g, ובדרך אנו עוברים בצורה רציפה (דרך לולאות עם נקודת בסיס ${\displaystyle x_{0}}$) מ-f אל g, כך שניתן להפוך את f ל-g בצורה רציפה.

נגדיר פעולה על אוסף מחלקות השקילות באופן הבא: בהינתן זוג מחלקות שקילות של לולאות ביחס להומוטופיה ${\displaystyle \,[f],[g]}$, נבחר נציגים ${\displaystyle \,f\in [f]}$ ו- ${\displaystyle \,g\in [g]}$. נגדיר את ${\displaystyle \,f*g}$ להיות הלולאה שבה קודם "מטיילים" ב-f, ולאחר מכן "מטיילים" ב-g. באופן פורמלי, עבור ${\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {1}{2}}}$ נגדיר ${\displaystyle \,(f*g)(t)=f(2t)}$ (כלומר עוברים דרך המסלול של f ב"מהירות כפולה), ועבור ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leq t\leq 1}$ נגדיר ${\displaystyle \,(f*g)(t)=g(2t-1)}$ (כלומר עוברים דרך המסלול של g ב"מהירות כפולה"). לבסוף, נגדיר ${\displaystyle \,[f]*[g]=[f*g]}$. קל להראות שעבור נציגים אחרים לאותן מחלקות הומוטופיה, ${\displaystyle f'\in [f],g'\in [g]}$ מתקיים ${\displaystyle \,f'*g'\in [f*g]}$. כלומר, על אף שהרכבה של נציגים שונים נותנת מסילות שונות, כל ההרכבות נופלות באותה מחלקת שקילות הומוטופית. לכן פעולת ההרכבה משרה פעולה בינארית על מחלקות השקילות של המסילות. לא קשה להראות שפעולה זו אכן יוצרת מבנה של חבורה. האיבר הנייטרלי הוא הפונקציה הקבועה ${\displaystyle f(t)=x_{0}}$ (כלומר: נקודה - הלולאה הטריוויאלית), וההופכי ללולאה f מוגדר על ידי ${\displaystyle \,f^{-1}(t)=f(1-t)}$ - כלומר "מטיילים" לאורך f בכיוון ההפוך.

חבורה זו נקראת החבורה היסודית של X עם נקודת בסיס ${\displaystyle x_{0}}$, והיא מסומנת ב ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

אף על פי שלכאורה החבורה היסודית תלויה בבחירת נקודת הבסיס ${\displaystyle x_{0}}$, מתברר כי אם X קשיר מסילתית, אז החבורות היסודיות המתאימות לנקודות בסיס שונות הן איזומורפיות.

במרחבים רבים כגון ${\displaystyle \,\mathbb {R} ^{n}}$, או כל תת קבוצה קמורה של ${\displaystyle \,\mathbb {R} ^{n}}$ ישנה רק מחלקת שקילות הומוטופית אחת, ולפיכך החבורה היסודית של המרחב היא החבורה הטריוויאלית. מרחב טופולוגי שהחבורה היסודית שלו טריוויאלית נקרא מרחב פשוט קשר.

דוגמה מעניינת יותר נתונה על ידי המעגל. מתברר כי כל מחלקת הומוטופיה מורכבת מכל הלולאות אשר מקיפות את המעגל מספר נתון של פעמים (אשר יכול להיות חיובי או שלילי, בהתאם לכיוון בו נעים). המכפלה של סיבוב m פעמים בסיבוב n פעמים היא לולאה שמקיפה את המעגל n+m פעמים. לפיכך החבורה היסודית של המעגל איזומורפית ל ${\displaystyle \,(\mathbb {Z} ,+)}$ - החבורה החיבורית של המספרים השלמים. ניתן להשתמש בעובדה זו בשביל להוכיח, למשל, את משפט נקודת השבת של בראואר.

בניגוד לחבורות ההומולוגיה וחבורות ההומוטופיה הגבוהות יותר, החבורה היסודית של מרחב טופולוגי אינה בהכרח אבלית. לדוגמה, החבורה היסודית של גרף G היא חבורה חופשית. הדרגה של חבורה זו שווה ל ${\displaystyle \,1-\chi (G)}$, כלומר 1 פחות מאפיין אוילר של G.

נניח ש- ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ו- ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ זוג מרחבים מנוקדים. כלומר X ו-Y מרחבים טופולוגיים, ו-${\displaystyle \,x_{0}\in X\ ,\ y_{0}\in Y}$ נקודות בתוכם. אם ${\displaystyle \,f:X\to Y}$ היא פונקציה רציפה המקיימת ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$, אז בהינתן לולאה ${\displaystyle \varphi }$ ב-X עם נקודת בסיס ${\displaystyle x_{0}}$, נקבל ש- ${\displaystyle f\circ \varphi }$ היא לולאה בY עם נקודת בסיס ${\displaystyle y_{0}}$.

ניתן להראות שהתאמה זו בין המסילות של המרחבים שולחת מסילות הומוטופיות (ביחס לנקודת הבסיס) למסילות הומוטופיות, ומכבדת את פעולת ההרכבה שהגדרנו על המסילות. לכן מתקבל הומומורפיזם בין החבורות ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ו-${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$ הנקרא ההומומורפיזם המושרה על ידי f והמסומן על ידי ${\displaystyle \pi _{1}(f)}$, או בצורה היותר נפוצה:

${\displaystyle f_{*}:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})}$.

תכונה חשובה של ההומורפיזם שתארנו היא ש- ${\displaystyle \,\pi _{1}(f\circ g)=\pi _{1}(f)\circ \pi _{1}(g)}$. בשפת תורת הקטגוריות נאמר, ש-${\displaystyle \pi _{1}}$ הוא פונקטור מהקטגוריה של מרחבים טופולוגיים מנוקדים לקטגוריה של חבורות (שימו לב, שהפונקטור ${\displaystyle \pi _{1}}$ פועל גם על מרחבים טופולוגיים מנוקדים וגם על מורפיזמים בין מרחבים טופולוגיים מנוקדים, כלומר על העתקות רציפות המשמרות את נקודת הבסיס).

מתברר שפונקטור זה אינו מבחין בין פונקציות הומוטופיות ביחס לנקודת הבסיס. כלומר, אם ${\displaystyle \,f,g:X\to Y}$ הן פונקציות רציפות כך ש ${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}}$ שהן הומוטופיות ביחס ל ${\displaystyle \{x_{0}\}}$, אז מתקיים ${\displaystyle f_{*}=g_{*}}$.

• Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1

מדיה וקבצים בנושא חבורה יסודית בוויקישיתוף

• ערך על החבורה היסודית באתר PlanetMath
• הספר Algebraic Topology מאת Allen Hatcher. בספר ניתנים הסברים והמחשות של המושגים מהרמה הבסיסית ועד לרמה המופשטת ביותר.
• חבורה יסודית, באתר MathWorld (באנגלית)
• חבורות יסוד (מתמטיקה), דף שער בספרייה הלאומית