הרחבה ספרבילית

${\displaystyle f}$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=q(x)(x-c)^{2}}$

${\displaystyle f'(x)=(x-c)^{2}q'(x)+2(x-c)q(x)=(x-c)(2q(x)+q'(x)(x-c))}$

ולכן ${\displaystyle h=\gcd(f,f')}$ הוא פולינום ש-c מאפס אותו בשדה הפיצול, כלומר או שהוא פולינום ממעלה גדולה מ-0 כך ש- ${\displaystyle x-c|h}$ או שהוא פולינום האפס. נניח בשלילה שהוא פולינום ממעלה חיובית, אבל מאחר שאת ה-gcd אפשר לחשב באמצעות חילוק אוקלידי הוא מוגדר בשדה הבסיס F, כלומר ${\displaystyle h\in F[x]}$. אבל ${\displaystyle h|f}$ (הפולינום ${\displaystyle h}$ מחלק את ${\displaystyle f}$ כי הוא מחלק משותף מקסימלי שלו ושל ${\displaystyle f'}$) וקיבלנו סתירה לכך ש-${\displaystyle f}$ אי-פריק. הדרך היחידה לפתור את הסתירה היא לדרוש שבהכרח ${\displaystyle h=\gcd(f,f')=0}$ (האפשרות של פולינום קבוע ממעלה 0 השונה מ-0 תיתן סתירה, כי ${\displaystyle \gcd(f,f')=1}$ מביא לסתירה כי בשדה הפיצול ${\displaystyle 0=h(c)\neq 1(c)=1}$. אבל ${\displaystyle \gcd(f,f')=0}$ אפשרי רק אם ${\displaystyle f'=0}$. התנאי האחרון אפשרי רק כאשר המאפיין של השדה הוא p (מספר ראשוני) ו-${\displaystyle f(x)=g(x^{p})}$, ואז אכן

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}g(x^{p})=g'(x^{p})\cdot p\cdot x^{p-1}\equiv 0{\pmod {p}}}$.

בכיוון השני, אם ${\displaystyle f'=0}$ אז ניתן לראות שהפולינום הוא מהצורה ${\displaystyle f(x)=g(x^{p})}$ בשדה ממאפיין p. יהי ${\displaystyle c}$ שורש בשדה פיצול של ${\displaystyle f}$, אזי ${\displaystyle f(c)=g(c^{p})=0}$ ובפרט ${\displaystyle x^{p}-c^{p}|g(x^{p})}$ ולכן ${\displaystyle x^{p}-c^{p}|f(x)}$. אבל

${\displaystyle x^{p}-c^{p}\equiv (x-c)^{p}{\pmod {p}}}$

ולכן השורש c הוא מריבוי אלגברי גדול מ-1, ומכאן שלא כל שורשיו של ${\displaystyle f}$ שונים זה מזה. כלומר, הפולינום לא ספרבילי.

מש"ל