התפלגות כי בריבוע

התפלגות כי בריבוע

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{>0}~~}$ (ידוע כ"דרגות חופש")
תומך	${\displaystyle x\in [0,+\infty )}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\displaystyle 1-{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\tfrac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}$
תוחלת	${\displaystyle k}$
סטיית תקן	${\displaystyle {\sqrt {2k}}}$
חציון	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
ערך שכיח	${\displaystyle \max(k-2,0)}$
שונות	${\displaystyle 2k}$
אנטרופיה	${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\tfrac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\tfrac {k}{2}})\psi ({\tfrac {k}{2}})\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}}$
פונקציה אופיינית	${\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}$
צידוד	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
גבנוניות	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$

התפלגות כי בריבוע (${\displaystyle \chi ^{2}}$, נהגה בכ' רפה, לעיתים נכתב חי בריבוע) היא התפלגות בעלת חשיבות רבה בסטטיסטיקה. חשיבותה העיקרית בהסקה סטטיסטית נובעת מהעובדה שתחת הנחות סבירות, גדלים הניתנים לחישוב באופן פשוט מתפלגים בקירוב בהתאם להתפלגות זו תחת השערת האפס. בין היתר, ההתפלגות משמשת כבסיס למבחן כי בריבוע. השם "כי בריבוע" מקורו באות היוונית ${\displaystyle \chi }$, כי.

בהינתן מספר טבעי ${\displaystyle k}$ (כלומר, שלם וחיובי), נאמר כי למשתנה מקרי רציף ${\displaystyle Y}$ יש התפלגות כי בריבוע עם ${\displaystyle k}$ דרגות חופש, אם צפיפות ההסתברות שלו נתונה בביטוי

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{for }}x>0\\0&{\text{for }}x\leq 0\end{cases}}}$

כאשר ${\displaystyle \Gamma (z)}$ היא פונקציית גמא.

במקרה כזה, מסמנים ${\displaystyle Y\sim \chi _{k}^{2}}$.

בהינתן ${\displaystyle k}$ משתנים מקריים ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ בלתי תלויים, שלכולם התפלגות נורמלית סטנדרטית (כלומר: התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1), המשתנה

${\displaystyle Y=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}}$

מתפלג כי בריבוע עם ${\displaystyle k}$ דרגות חופש.

התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא, עם פרמטר צורה ${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{2}}}$ ופרמטר קצב ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}}$.

בפיזיקה ניסונית, התפלגות כי בריבוע מתארת את מדד טיב ההתאמה של פונקציה בהינתן מספר מדידות N ושגיאותיהן וכמו כן עבור מספר המקדמים בהתאמה שנסמן k (דרגות החופש).

ניתן להוכיח כי ${\displaystyle \chi ^{2}\approx N-k}$ ולכן נגדיר גודל חדש המתחשב בדרגות החופש, כי בריבוע מצומצם יוגדר ע"י$${\displaystyle \chi _{red}^{2}={\frac {\chi ^{2}}{N-k}}}$$דוגמאות לגורמי השפעה על מדד כי בריבוע המצומצם:

• הערכת שגיאות - הערכת יתר מקטינה את ערך כי בריבוע המצומצם
• מדידה חריגה - מגדילה את ערך כי בריבוע המצומצם
• גורמים פיזיקליים שלא התחשבו - מגדילה את ערך כי בריבוע המצומצם

כמו כן קיים קשר בין מדד זה למדד ערך p - "בהנחה שהתקבל ערך α והמודל מתאר את המערכת הפיזיקלית, מה ההסתברות לקבל כי בריבוע גדול או שווה ל-α?"

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע • חצי המעגל של ויגנר • התפלגות טרייסי-וידום
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת

מדיה וקבצים בנושא התפלגות כי בריבוע בוויקישיתוף

• התפלגות כי בריבוע, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא סטטיסטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.