זווית מרכזית

במעגל, זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז המעגל ושוקיה הם שני רדיוסים במעגל. גודל הזווית ברדיאנים שווה לאורך הקשת שזווית זו חותכת ממעגל שרדיוסו 1. גודלה של זווית מרכזית Θ הוא 0° < Θ < 360° או 0 < Θ < 2π רדיאנים.

בהגדרה של זווית מרכזית הנשענת על נקודות A ו-B שנמצאות על המעגל, יש לקבוע האם זו הזווית הקמורה (<180°) או הקעורה (>180°). שתי זוויות אלה שוות בגודלן כאשר הזווית המרכזית היא בת 180° (והזווית המרכזית היא למעשה קוטר).

כאשר הקשת הקטנה התחומה בין שוקי הזווית המרכזית היא באורך L, ורדיוס המעגל הוא באורך R, היקף המעגל הוא 2πR והקשת L היא החלק ${\displaystyle {\frac {\Theta }{2\pi }}}$ של ההיקף, ומכאן:

${\displaystyle L={\frac {\Theta }{2\pi }}\cdot 2\pi R\,\Rightarrow \,\Theta ={\frac {L}{R}}}$

כאשר המשיק למעגל בנקודה A והמשיק למעגל בנקודה B נפגשים בנקודה P מחוץ למעגל, אז ∠BOA (הקמורה) ו-∠BPA משלימות זו את זו ל-180°.

גודלה של זווית היקפית, הנשענת על אותה קשת שעליה נשענת זווית מרכזית, שווה לחצי גודלה של הזווית המרכזית.

שוקי הזווית המרכזית והקשת התחומה ביניהן יוצרים גזרה. היחס בין שטח הגזרה לכלל שטח העיגול שווה ליחס בין הזווית המרכזית לסיבוב שלם, השווה ליחס בין אורך הקשת של הגזרה לבין היקף המעגל כולו. כלומר שטח הגזרה הוא: ${\displaystyle S={\frac {\theta \cdot r^{2}}{2}}={\frac {L\cdot r}{2}}}$ כאשר ${\displaystyle L}$ הוא אורך הקשת והזוויות נמדדת ברדיאנים.

למצולע משוכלל בעל n צלעות יש מעגל חוסם העובר דרך כל קודקודי המצולע. מרכז המעגל הוא גם מרכז המצולע, וגודל זווית מרכזית הנשענת על שני קודקודים סמוכים הוא ${\displaystyle 2\pi /n}$.

• זווית מרכזית, באתר MathWorld (באנגלית)