חבורה פתירה

בתורת החבורות, חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית סופית שכל הגורמים בה אבליים. מקורו של השם בתורת גלואה: אפשר לפתור משוואה פולינומית באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש (פתרון על ידי רדיקלים), אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום היא חבורה פתירה.

כל חבורה נילפוטנטית (ובפרט, כל חבורה אבלית וכל חבורת p) היא פתירה. מאידך, חבורה פתירה נוצרת סופית שבה כל נגזרת ${\displaystyle \operatorname {ad} _{y}:x\mapsto [x,y]}$ היא נילפוטנטית ("תנאי אנגל"), היא נילפוטנטית^[1].

אחד הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות הוא שאפשר ללמוד חבורה באמצעות תת-חבורה נורמלית וחבורת המנה ביחס אליה. כשממשיכים ללמוד כל אחד משני הגורמים האלה באותו אופן, מגיעים לפירוק ל"גורמי הרכב", באמצעות סדרת הרכב (ומשפט ז'ורדן-הולדר). מגורמי ההרכב ומידע על האינטראקציות ביניהם אפשר, בעקרון, לבנות בחזרה את החבורה. חבורה שכל גורמי ההרכב שלה אבליים, נקראת חבורה פתירה. מאידך, לחבורה שאינה פתירה יש גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.

התכונות הבאות משמשות הגדרות שקולות לכך שהחבורה ${\displaystyle G}$ פתירה:

• ${\displaystyle G}$ ציקלית, או שיש לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית ${\displaystyle N}$, כך ש-${\displaystyle N}$ ו-${\displaystyle G/N}$ שתיהן פתירות.
• ${\displaystyle G}$ ציקלית או שיש לה סדרה נורמלית (לא טריוויאלית) שהגורמים שלה הם חבורות פתירות.
• קיים ${\displaystyle n}$ טבעי כך ש- ${\displaystyle G^{(n)}=1}$ (כאשר ${\displaystyle G^{(n)}}$ תת חבורת הנגזרת מסדר ${\displaystyle n}$.)
• (כאשר החבורה סופית) יש לחבורה סדרת הרכב שגורמיה חבורות ציקליות.

אוסף החבורות הפתירות סגור לכמה פעולות יסודיות: כל תת-חבורה (אפילו אינה נורמלית) וכל חבורת מנה של חבורה פתירה הן פתירות; ולהפך, כל הרחבה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה. בפרט, המכפלה הישרה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה. למעשה, אוסף החבורות הפתירות הוא האוסף הקטן ביותר של חבורות הכולל את החבורות האבליות וסגור להרחבות.

כל החבורות שסדרן קטן מ-120 הן פתירות, פרט לחבורת התמורות הזוגיות ${\displaystyle A_{5}}$, שהיא חבורה פשוטה מסדר 60.

ב-1968 הוכיח תומפסון (Thompson) שאם כל תת-חבורה של חבורה ${\displaystyle G}$ הנוצרת על ידי שני איברים היא פתירה, אז ${\displaystyle G}$ עצמה פתירה. ההוכחה מבוססת על מיון החבורות הפשוטות שכל תת-חבורה שלהן הנוצרת על ידי שני איברים היא פתירה.

בחבורה ${\displaystyle G}$ אפשר להגדיר סדרה של תת-חבורות נורמליות, לפי הנוסחה ${\displaystyle G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}]}$, כאשר ${\displaystyle G^{(1)}=G}$. מכיוון ש- ${\displaystyle G^{(n+1)}}$ היא תת-חבורת הקומוטטורים של ${\displaystyle G^{(n)}}$, המנות ${\displaystyle G^{(n)}/G^{(n+1)}}$ כולן אבליות, ובמקרה שהן נוצרות סופית, אפשר להציג אותן כסכום ישר של חבורות ציקליות. אם משמיטים את המרכיבים המפותלים מתקבלת חבורה מהצורה ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{a_{n}}}$. הסכום ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+\cdots \ }$ נקרא דרגת הירש של החבורה. אם לשתי חבורות פתירות נוצרות סופית יש גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים, אז יש להן אותה דרגת הירש.

אם תת-חבורת הקומוטטורים אבלית (כלומר ${\displaystyle G''=1}$), החבורה נקראת מטא-אבלית; כל חבורה כזו היא כמובן פתירה. חבורות מטא-אבליות נוצרות סופית אינן בהכרח בעלות ייצוג סופי; עם זאת, אפשר להציג אותן כמודול נוצר סופית מעל החוג הקומוטטיבי ${\displaystyle \mathbb {Z} [G/G']}$. חבורות מטא-אבליות נוצרות סופית הן residually finite, ומקיימות את תנאי השרשרת העולה (דבר שאינו נכון לחבורות פתירות ממחלקה גבוהה יותר). הירש הוכיח שכל חבורה פתירה נוצרת סופית המקיימת את תנאי השרשרת העולה היא חבורה פולי-ציקלית.

• חבורה פתירה, באתר MathWorld (באנגלית)