גרף הפונקציה טנגנס בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי .
טנגנס (מסומן כ- tan {\displaystyle \tan } או tg {\displaystyle {\text{tg}}} ) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית.
במשולש זה, טנגנס הזווית A שווה a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הטנגנס מציינת, כפונקציה של זווית , את היחס במשולש ישר-זווית בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} רדיאנים . משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הטנגנס של זווית מוגדר היטב .
כמו כן, נפוץ מאוד השימוש בפונקציית הטנגנס כמנה של סינוס וקוסינוס בעלי אותה זווית. קל להגיע לזהות זו באמצעות הצבת היחסים שמייצגות פונקציות הסינוס והקוסינוס:
{ sin x = a c cos x = b c tan x = sin x cos x ⟺ tan x = a / c b / c = a b {\displaystyle {\begin{cases}\sin x={a \over c}\\\cos x={b \over c}\\\tan x={\sin x \over \cos x}\end{cases}}\Longleftrightarrow \ \tan x={a/c \over b/c}={a \over b}}
תמונה זאת מדגימה את הדרך השנייה להגדיר טנגנס. ניתן להרחיב את הטנגנס לכל זווית ממשית באמצעות מעגל היחידה , כאשר הרדיוס "מסתובב" נגד כיוון השעון כמספר הזווית (אם היא שלילית אז עם כיוון השעון). קיימות שתי דרכים לעשות זאת:
טנגנס הזווית שווה ליחס בין שיעור ה-y של קצה הרדיוס (הסינוס של הזווית) לשיעור ה-x שלה (הקוסינוס של הזווית): tan x = sin x cos x {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}} . מעבירים למעגל משיק מהנקודה (1,0), וממשיכים את הרדיוס. שיעור ה-y של הנקודה בה הם נחתכים שווה לטנגנס הזווית. פונקציה הטנגנס אינה מוגדרת עבור x = π 2 + π k {\displaystyle \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi k} כאשר k {\displaystyle \ k} מספר שלם , כיוון שבדרך הראשונה, הקוסינוס שווה ל-0 (ומתקבלת חלוקה באפס ), ובדרך השנייה הרדיוס מקביל למשיק ולא חותך אותו.
ניתן להגדיר את הפונקציה באמצעות טור טיילור : tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} כאשר B n {\displaystyle \ B_{n}} הוא מספר ברנולי ה-n.
הצגה מפורשת לתחילת הטור: tan x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + ⋯ , for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}
בדומה לפונקציית הקוסינוס שמתקבלת מפונקציית הסינוס על ידי הזווית המשלימה לזווית ישרה, ניתן גם להגדיר את פונקציית הקוטנגנס: cot x = tan ( π 2 − x ) {\displaystyle \cot x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)} , אלא שפונקציה זאת שימושית הרבה פחות בגלל הזהות tan ( π 2 − x ) = 1 tan x {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\tan x}}} , לפיה במקום השימוש בקוטנגנס אפשר פשוט להשתמש בהופכי של הטנגנס.
פונקציית הטנגנס היא פונקציה אי זוגית , משום שמתקיים tan ( − x ) = − tan ( x ) {\displaystyle \tan \ (-x)=-\tan \ (x)} . לפונקציה יש מחזור של π {\displaystyle \ \pi } . הפונקציה מוגדרת לכל x, מלבד x = π 2 + π k {\displaystyle \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi k} כאשר k {\displaystyle \ k} מספר שלם. נקודות אלו הן גם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה. הפונקציה רציפה , גזירה ואינטגרבילית בכל נקודה שבה היא מוגדרת. הפונקציה עולה בכל קטע שבו היא מוגדרת, ואין לה נקודות קיצון . לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה x = π k {\displaystyle \ x=\pi k} , כאשר k {\displaystyle \ k} מספר שלם. לפי כלל המנה , נגזרת הפונקציה היא: d d x tan x = d d x ( sin x cos x ) = sin x ⋅ sin x + cos x ⋅ cos x cos 2 x = 1 cos 2 x {\displaystyle {\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!x}\tan x={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!x}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)={\frac {\sin x\cdot \sin x+\cos x\cdot \cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}} הקדומה של הפונקציה היא: ∫ tan x d x = − ln | cos x | + C {\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln |\cos x|+C} ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות פונקציית הטנגנס מקיימת: tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \ \tan(-\theta )=-\tan \theta } וכן tan ( π − θ ) = − tan θ {\displaystyle \ \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta } בעזרת פונקציית הטנגנס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): sin θ = tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} , cos θ = 1 1 + tan 2 θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} , cot θ = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={1 \over \tan \theta }} , csc θ = 1 + tan 2 θ tan θ {\displaystyle \csc \theta ={{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }} , sec θ = 1 + tan 2 θ {\displaystyle \sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} סכום זוויות: tan ( θ ± φ ) = tan θ ± tan φ 1 ∓ tan θ tan φ {\displaystyle \tan(\theta \pm \varphi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \varphi }{1\mp \tan \theta \tan \varphi }}} זווית כפולה: tan 2 θ = 2 tan θ 1 − tan 2 θ {\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\,} , tan 3 θ = 3 tan θ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ {\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}} חצי זווית: tan θ 2 = csc θ − cot θ = ± 1 − cos θ 1 + cos θ = sin θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sin θ {\displaystyle \tan {\tfrac {\theta }{2}}=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}} ממוצע זוויות: tan ( α + β 2 ) = sin α + sin β cos α + cos β = − cos α − cos β sin α − sin β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}} אם x , y , ו-z הן שלוש זוויות של משולש כלשהו, כלומר אם = π = x + y + z {\displaystyle \ =\pi =x+y+z} חצי מעגל (180°), אזי: tan ( x ) + tan ( y ) + tan ( z ) = tan ( x ) tan ( y ) tan ( z ) {\displaystyle \ \tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z)}
ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות הפוכות גרף פונקציית הארכטנגנס הפונקציה ההפוכה לפונקציית הטנגנס נקראת ארקטנגנס ומסומנת arctan {\displaystyle \ \arctan } או tan − 1 {\displaystyle \ \tan ^{-1}} . הפונקציה מוגדרת ועולה לכל x, וכיוון שפונקציית הטנגנס אינה חד-חד-ערכית , ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle \ (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})} . הנגזרת שלה היא d d x arctan x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}} .
ערך מורחב – משפט הטנגנסים משפט הטנגנסים הוא משפט המציין תכונה של צלעות וזוויות במשולש . אם שתיים מהצלעות הן a , b {\displaystyle \ a,b} והזוויות שמולן הן α , β {\displaystyle \ \alpha ,\beta } בהתאמה, אז מתקיים:
a − b a + b = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}} .