לוגיקה אפיסטמית

לוגיקה אפיסטמית היא תת-תחום של לוגיקה מודלית שמתמקדת בניתוח פורמלי של ידיעה. בעוד שאפיסטמולוגיה לוקחת חלק מרכזי בהיסטוריה של הפילוסופיה המערבית עוד מיוון הקלאסית, לוגיקה אפיסטמית היא תחום מחקר חדש יחסית שהתפתח במחצית השנייה של המאה ה-20. אמנם כבר אריסטו עסק באופן לא פורמלי בלוגיקה מודאלית, ופילוסופים מימי הביניים כמו ויליאם איש אוקאם וג'ון דנס סקוטוס המשיכו את דרכו המחקרית, ברור כי רק ב-1912 פיתח סי. איי. לואיס את הלוגיקה המודאלית באופן סיסטמטי. הלוגיקה המודאלית שמשמשת את הלוגיקה האפיסטמית כיום קיבלה את צורתה בעבודתו של סול קריפקי בשנות השישים של המאה ה-20.

החל משנות החמישים של המאה ה-20 נכתבו מאמרים רבים על הלוגיקה של ידע. בשנת 1951 פרסם הפילוסוף הפיני ג'ורג' הנריך פון וורייט את המאמר "An Essay in Modal Logic" שנחשב יצירה יסודית בתחום. ב-1962 פרסם הפילוסוף והלוגיקן הפיני יאקו הינטיקה את Knowledge and Belief, הספר הראשון בנושא שהציע להשתמש במודאליות כדי להבין את הסמנטיקה של (טענות אודות) ידיעה. ספרו של הינטיקה הביא להמשך של מחקר מעמיק בנושא עד לימינו וזיכה את הינטיקה בתואר אבי הלוגיקה האפיסטמית.

רוב המאמצים לחקור ידיעה באופן פורמלי מתבססים על המודל הסמנטי של עולמות אפשריים. כדי לעשות זאת, יש לחלק את קבוצת העולמות האפשריים לאלו שתואמים לידע של סוכן, ולאלו שלא. אם מישהי יודעת שהיום יום שישי או יום שבת, אז היא יודעת בוודאות שהיום לא יום חמישי. אין עולם אפשרי (נגיש) שתואם לידיעה שלה שהיום יום חמישי, מכיוון שבכל העולמות האפשריים הנגישים ההתאמה היא ליום שישי או שבת. כמו כל שפה פורמלית, לוגיקה אפיסטמית כוללת סינטקס וסמנטיקה, שמבוססות על המבנה של לוגיקה מודאלית.

האופרטור הבסיסי של לוגיקה מודאלית מסומן לרוב ב-K, ויכול להקרא "זה ידוע ש", "זה הכרחי אפיסטמית" או "זה לא עקבי עם מה שידוע שלא". אופרטור זה מקביל לאופרטור ${\displaystyle \Box }$ מלוגיקה מודאלית סטנדרטית. אם ישנו יותר מסוכן אחד שהידע שלו מיוצג ניתן להוסיף בתחתית אופרטור K סימול נוסף (${\displaystyle {\mathit {K}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathit {K}}_{2}}$, etc.) כדי להבדיל בין מספר סוכני הידיעה. באופן כללי ${\displaystyle {\mathit {K}}_{a}\varphi }$ יקרא כך: "סוכן ${\displaystyle a}$ יודע ש ${\displaystyle \varphi }$". לאופטור המשלים של K, השמקביל לאופרטור ${\displaystyle \Diamond p}$ מלוגיקה מודאלית אין סימן משלו, אבל ניתן לנסחו כ ${\displaystyle \neg K_{a}\neg \varphi }$ ולקרוא אותו כ${\displaystyle a}$ לא יודע שלא ${\displaystyle \varphi }$. את הטענה '${\displaystyle a}$ לא יודע אם ${\displaystyle \varphi }$ או אם לא ${\displaystyle \varphi }$' ניתן לבטא כך ${\displaystyle \neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi }$.

הסמנטיקה של לוגיקה אפיסטמית מבוססת על מבנים, בדומה ללוגיקה מודאלית. מבנה M עבור n סוכנים על ${\displaystyle \Phi }$ הוא שלשה סדורה ${\displaystyle (S,\pi ,{\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n})}$ כאשר S היא קבוצה לא ריקה של מצבים או עולמות אפשריים, ${\displaystyle \pi }$ הוא פשר שמתאים לכל מצב ב־S ערך אמת לטענות אטומיות ב ${\displaystyle \Phi }$, ו${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}}$ הם יחסים בינאריים על קבוצה S עבור מספר n של סוכנים. חשוב לא לבלבל בין ${\displaystyle K_{i}}$, האופרטור המודאלי, לבין ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ שהוא יחס נגישות. ערך האמת קובע האם טענה p היא אמיתית הוא שקרית במצב מסוים. כך ש${\displaystyle \pi (s)(p)}$ אומר האם p אמיתי במצב s במודל ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. אמת תלויה לא רק במבנה, אלא גם במצב (או עולם). טענה יכולה להיות אמיתית במצב אחד ושקרית במצב אחר. כדי לקבוע שטענה היא אמיתי בעולם מסוים, כותבים ${\displaystyle (M,s)\models \varphi }$, שנקרא '${\displaystyle \varphi }$ אמיתי ב(M,s).

אפשר לחשוב על היחס הבינארי ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ כיחס אפשרות, כי הוא מסביר איזה מצבים סוכן i תופש כאפשריים. בתיאור אידיאלי של ידיעה (תיאור של סוכן אפיטמי מושלם) ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ יהיה יחס שקילות. יחס שקילות הוא יחס רפלקסיבי סימטרי וטרנזיטיבי. יחס הנגישות במבנה יכול כמובן להיות גם חלש יותר משקילות, בהתאם למשמעות שניתנת למושגי הידיעה.

בהנחה ש${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ הוא יחס שקילות, ניתן לחלץ כמה תכונות למושג הידיעה, תכונות שיוצגו להלן כאקסיומות של לוגיקה אפיסטמית. התכונות שמוצגות כאן מוכרות כתכונות S5, מסיבות שיוסברו בסעיף מערכת אקסיומות.

אקסיומה זו מכונה לרוב K. במונחי אפיסטמיים האקסיומה קובעת שאם סוכן יודע ${\displaystyle \varphi }$, וכן הסוכן יודע כי ${\displaystyle \varphi \implies \psi }$ אז הסוכן יודע גם בהכרח כי ${\displaystyle \,\psi }$. בכתיבה פורמלית:

${\displaystyle (K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi }$

בדיון העכשווי באפיסטמולוגיה מתקיים ויכוח לגבי החלות של אקסיומה זו על המציאות מוכרת לנו. באפיסטמולוגיה עכשווית, אקסיומה זו מכונה גם עקרון הסגר האפיסטמי (epistemic closure).

במערכת S5 מתקיימת גם התכונה הבאה. אם ${\displaystyle \phi }$ היא תקפה, אז ${\displaystyle K_{i}\phi }$. כלל זה לא קובע כי סוכן יודע את כל הטענות האמיתיות, אלא את כל אלו שתקפות במודל. כלומר, אם טענה היא אמיתית בכל עולם אפשרי, אז הסוכן יודע אותה בכל מצב אפשרי. עיקרון זה נקרא גם N.

${\displaystyle {\text{if }}M\models \varphi {\text{ then }}M\models K_{i}\varphi .\,}$

אקסיומה זו ידועה כאקסיומה T. היא קובעת כי טענות ידועות הן טענות אמיתיות. באופן מסורתי בדיון האפיסטמולוגי, ידיעה מורכבת (לפי ההגדרה המקובלת) כהאמנה אמיתית ומוצדקת. זאת בניגוד להאמנה סתם, שיכולה להיות שקרית. כלומר, אנו יכולים להאמין בטענה שקרית, אך אנו לא יכולים לדעת טענה שקרית.

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies \varphi }$

התכונה הזו, וכן התכונה הבאה, קובעת כי לסוכן יש יכולת אינטרוספקציה על מה שידוע לו. אקסיומות אלו ידועות כאקסיומה 4 ו5 בהתאמה. אקסיומת האינטרוספקציה החיובית (שידועה גם בתור אקסיומת KK) קובעת כי סוכנים יודעים שהם יודעים את מה שהם יודעים. כלומר האקסיומה קובעת שאם טענה כלשהו ידועה לי, אז בהכרח ובכל מצב גם ידועה לי הידיעה של טענה זו.

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi }$

אקסיומה זו קובעת, בהמשך לאקסיומה הקודמת, שסוכנים יודעים שהם לא יודעים את מה שהם לא יודעים. נניח ואינני יודע כמה כוכבים יש בשביל החלב. כששואלים אותי כמה כוכבים יש בשביל החלב, כל שאני יכול לענות הוא כי אינני יודע. מכאן שאני יודע שאינני יודע את מספר בכוכבים. האקסיומה חלה על כל הטענות שאינן ידועות לי.

${\displaystyle \neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi }$

מבחינה סינטקטית, ניתן להבין בין סוגים שונים של לוגיקות מודאליות באמצעות אקסיומות שונות שקובעות אותן. מערכת הלוגיקה המודאלית שכוללת את האקסיומות K, T, 4, 5 ואת כלל ההכרח, ידועה כמערכת S5. מערכת זו נחשבת למערכת המודאלית החזקה ביותר, ובהתאם היא מייצגת את הסוכן האפיסטמי הטוב (או חזק) ביותר. מסיבה זו, תכונות הידיעה שהוצגו כאן, שכולן מתקיימות, מכונות תכונות S5. ניתן לוותר על חלק מהאקסיומות כדי להתאים את תכונות הידיעה למערכות שונות וחלשות יותר של לוגיקה מודאלית. ויתור על תכונות יאפשר סוכן אפיסטמי חלש יותר, אך (אולי) גם קרוב יותר למציאות.