מומנט התמד

במכניקה של גוף קשיח, מומנט ההתמד של מסה (ידוע גם בשמות מומנט אינרציה, או מסה זוויתית) מתאר את היחס בין מומנט הכוח המופעל על הגוף לבין התאוצה הזוויתית שאותה יפתח הגוף סביב ציר הסיבוב. בהקבלה לתנועה קווית, שם המסה מהווה את היחס בין הכוח הפועל על הגוף לתאוצת הגוף ובעצם מתארת את רמת ההתנגדות של הגוף אל השינוי בתנועה, כך גם בתנועה זוויתית של גוף קשיח (סיבוב סביב צירו) מומנט ההתמד מתאר את רמת ההתנגדות של הגוף לשינוי בתנועה הזוויתית.

מומנט ההתמד הוא תכונה של גוף עבור ציר סיבוב מסוים - אין משמעות לביטוי "מומנט ההתמד של הגוף" ללא ציון הציר סביבו הוא מחושב או נמדד.^[1] ציר הסיבוב יכול לעבור בתוך הגוף ויכול לעבור מחוצה לו, אך לרוב נוח לחשב סביב הצירים הראשיים של הגוף, שעוברים במרכז המסה שלו. בשביל תמונה מלאה של מומנט ההתמד סביב צירים אלה, לא מספיק סקלר, ונזדקק לטנזור התמד. לאחר החישוב סביב הצירים הראשיים, ישנה דרך פשוטה לחישוב מהיר סביב צירים אחרים מקבילים, בשם משפט שטיינר-הויגנס.

כדי להגדיר לגוף את מומנט האינרציה שלו, נצטרך תחילה לבחור ציר סיבוב סביבו הוא נע. בתוך הציר הזה נבחר את נקודת ראשית הצירים על מנת לחשב ממנה את כל המרחקים. בחירת הנקודה המדויקת איננה משפיעה על התוצאות כל עוד היא על ציר הסיבוב.

עבור חלקיק נקודתי, נחשב את מומנט האינרציה בהתאם להגדרתו כיחס בין המומנט לתאוצה הזוויתית:

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times m{\vec {a}}=m{\vec {r}}\times \left({\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}\right)=m||{\vec {r}}_{\perp }||^{2}\alpha }$

כאשר משתי המכפלות הווקטוריות יצא שצריך להשמיט את החלק המקביל לציר הסיבוב ולכן נשאר לנו רק החלק המאונך (כי התאוצה הזוויתית מאונכת לציר הסיבוב). לפי זה אין משמעות לנקודת הראשית שבחרנו אלא רק למרחק מהציר. מה שאומר שאם נסמן ${\displaystyle r=||{\vec {r}}_{\perp }||}$, נקבל: ${\displaystyle I=mr^{2}}$

כעת נתבונן על נקודה אינפיניטסימלית בגוף הקשיח, יש לה מסה ${\displaystyle dm}$ ומרחק ${\displaystyle r}$ מציר הסיבוב. נוכל לסכום על כל הנקודות שבתוך הגוף ולהגיע למומנט האינרציה של כלל הגוף.

${\displaystyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{m}r^{2}\,dm=\int _{V}r^{2}(V)\,\rho (V)\,dV=\iiint _{V}r^{2}(x,y,z)\,\rho (x,y,z)\,dx\,dy\,dz\!}$

כאשר:

• ${\displaystyle \ V}$ - הוא נפח הגוף
• ${\displaystyle \ r}$ - הוא המרחק של יחידת מסה מציר הסיבוב
• ${\displaystyle \ m}$ - היא מסת הגוף
• ${\displaystyle \ \rho }$ - הוא פונקציית הצפיפות של הגוף
• ${\displaystyle \ x,y,z}$ - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

במקרה הבדיד (מספר סופי של חלקיקים נקודתיים בעלי מסה מוגדרת לכל אחד) ניתן להשתמש בנוסחה:

${\displaystyle \ I=\sum _{i}^{N}m_{i}r_{i}^{2}}$

כדי לסובב כדורסל על חוד מחודד צריך להשקיע הרבה פחות מאמץ מאשר כדי לסובב כדור באולינג באותה מהירות. באופן דומה- יותר קל לעצור כדורסל מסתובב מאשר כדור באולינג שמסתובב באותה מהירות. ההסבר לתופעה הוא שהמסה של כדור הבאולינג הרבה יותר גדולה. וזו משפיעה על השינוי ב"מהירות סיבוב" של גוף מסוים על ציר. אותו הגורם נקרא "מומנט התמד".

ניתן להגיד באופן כללי, שאם לשני גופים צורה וממדים זהים אזי הגוף בעל המסה הגדולה יותר יהיה גם בעל מומנט ההתמד הגדול יותר לכן קל יותר לסובב כדורסל (מאשר כדור באולינג הזהה לו) שהוא בעל מומנט התמד קטן יותר.

בנוסף, למשקולת, אשר רוב משקלה מרוכז בקצוות, מומנט ההתמד גדול יותר מאשר למשקולת כדורית באותו המשקל. לכן קל יותר לעצור משקולת כדורית מסתובבת מאשר את המשקולת הראשונה שמסתובבת על ציר. ובאופן כללי ניתן להגיד שמומנט ההתמד תלוי לא רק בצורה אלא גם בהתפלגות המסה. כלומר, 2 גופים בעלי אותה מסה שבאחד חלק מהמסה רחוקה יותר מציר הסיבוב יהיה בעל מומנט התמד גבוה יותר (כמו המשקולת שאינה כדורית).

את שני הקריטריונים הנ"ל (גודל המסה, וההתפלגות שלה) ניתן לראות מתוך ההגדרה.

ישנן מכוניות צעצוע רבות שניתן להתחיל להסיע אותן והן ממשיכות לנסוע מעצמן. בתוך המכונית נמצא גלגל מתכת כבד יחסית (גלגל תנופה). גלגל זה הוא בעל מומנט התמד גדול (יחסית) ולאחר שמתחילים להסיע את המכונית הוא מתחיל להסתובב וכשעוזבים אותה הוא ממשיך להניע. מומנט ההתמד הגבוה שלו מונע ממנו להאט במהירות (האטה שנגרמת תמיד בגלל כוח החיכוך) וכך המכונית ממשיכה לנסוע.

השימוש הבסיסי ביותר במומנט התמד הוא:

${\displaystyle \ \sum {\vec {\tau }}=I\ {\vec {\alpha }}}$

כאשר:

• ${\displaystyle {\vec {\alpha }}}$ - התאוצה הזוויתית של גוף (שקולה לתאוצה קווית בתנועה בקו ישר)
• ${\displaystyle \ I}$ - מומנט ההתמד של הגוף שהוא גודל סקלרי, לא וקטור (במקרה הפשוט ${\displaystyle \ I=mr^{2}}$ ובעצם שקול למסה של הגוף בתנועה בקו ישר)
• ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ - מומנט הכוח. (שקול לכוח בתנועה בקו ישר)

ולכן נוסחת המומנט בתנועה מעגלית שקולה לחוק השני של ניוטון בתנועה בקו ישר: ${\displaystyle \ \sum {\vec {F}}=m\ {\vec {a}}}$. מכאן רואים שככל שנפעיל מומנט כוח גדול יותר על הגוף כך נקבל תאוצה זוויתית גדולה יותר. תאוצה זוויתית זו תתקבל ביחס ישר כאשר I הוא קבוע היחס.

בכמה מובנים נוספים, מומנט ההתמד משמש כמקבילה הזוויתית למסה, ודרכו אפשר לחשב גדלים רבים:

גודל	תנועה קווית	תנועה זוויתית
החוק השני של ניוטון	${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$	${\displaystyle {\vec {\tau }}=I{\vec {\alpha }}}$
תנע	${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$
אנרגיה קינטית	${\displaystyle E_{K}={\frac {mv^{2}}{2}}}$	${\displaystyle E_{K}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}}$

עבור חישוב מומנט התמד של גוף כללי ("מסובך") המורכב ממספר גופים נדרש לבצע:

• חישוב מומנט ההתמד של כל אחת מן המסות אשר מרכיבות את הגוף סביב הציר בו הגוף מסתובב
  • במקרה של מסה לא נקודתית המרכיבה את הגוף (מלבן, עיגול) נחשב את מומנט ההתמד שלה סביב הציר הרצוי בעזרת משפט שטיינר
• נבצע חיבור של כל מומנטי ההתמד ונקבל את מומנט ההתמד השקול של הגוף הכללי

סכום מומנטי ההתמד למערכת צירים ישרת זווית איננו מושפע מהכוון של הצירים אלא רק ממיקום מוצא הצירים.

${\displaystyle \ I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\iiint _{V}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv+\iiint _{V}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv+\iiint _{V}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv\!}$

${\displaystyle \ I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\iiint _{V}2(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\rho (v)\,dv=\iiint _{V}2r^{2}\,\rho (v)\,dv\!}$

כאשר:

• ${\displaystyle \ V}$ - הוא נפח הגוף
• ${\displaystyle \ r}$ - הוא המרחק של יחידת מסה מראשית הצירים
• ${\displaystyle \ \rho }$ - הוא פונקציית הצפיפות של הגוף
• ${\displaystyle \ x,y,z}$ - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

	${\displaystyle {\frac {1}{2}}Mr^{2}}$		${\displaystyle {\frac {1}{12}}Ml^{2}}$
	${\displaystyle {\frac {1}{12}}M(a^{2}+b^{2})}$		${\displaystyle {\frac {2}{5}}Mr^{2}}$		${\displaystyle {\frac {1}{2}}M({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2})}$

כאשר:

• ${\displaystyle \ M}$ - היא מסת הגוף
• ${\displaystyle \ r}$ - הוא רדיוס הגליל או הכדור ביחידות אורך
• ${\displaystyle \ h}$ - הוא גובה הגליל ביחידות אורך
• ${\displaystyle \ a,b}$ - הם ממדי התיבה ביחידות אורך
• ${\displaystyle \ l}$ - הוא אורך הגליל ביחידות אורך

• טנזור התמד
• משפט שטיינר
• מומנט ההתמד של השטח
• מומנט התמד פולרי של השטח
• מומנט התמד פולרי מנורמל

מדיה וקבצים בנושא מומנט התמד בוויקישיתוף

• ד"ר אבי סאייג, חולה על כדורגל, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 26 ביוני 2018
• מומנטי אינרציה לגופים שונים, באנגלית
• מומנט האינרציה של המסה, באנגלית efanda.
• מומנט האינרציה, באנגלית
• מומנט התמד, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מומנט התמד, באתר MathWorld (באנגלית)