הצמדה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של ${\displaystyle a}$ באמצעות ${\displaystyle b}$ היא הפעולה ${\displaystyle a\mapsto bab^{-1}}$. הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:

${\displaystyle \operatorname {Inn} _{b}(a)=\operatorname {inn} _{b}(a)=\operatorname {Int} _{b}(a)=\operatorname {int} _{b}(a)={}^{b}a=bab^{-1}}$

נאמר על שני איברים ${\displaystyle a}$ ו-${\displaystyle b}$ בחבורה ${\displaystyle G}$ שהם איברים צמודים אם קיים ${\displaystyle g\in G}$ כך שמתקיים:

${\displaystyle a=gbg^{-1}}$

יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:

• רפלקסיביות - כל איבר צמוד לעצמו מכיוון שמתקיים:

${\displaystyle a=aaa^{-1}}$.

• סימטריות - אם ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ אז:

${\displaystyle (g^{-1})a(g^{-1})^{-1}=g^{-1}(gbg^{-1})g=b}$.

• טרנזיטיביות - אם ${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ ו-${\displaystyle b=hch^{-1}}$ אז:

${\displaystyle a=gbg^{-1}=g(hch^{-1})g^{-1}=(gh)c(gh)^{-1}}$

אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון ${\displaystyle a}$ נקראת מחלקת הצמידות של ${\displaystyle a}$. מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.

• יחס הדמיון בין מטריצות הוא למעשה יחס הצמידות. שתי מטריצות שונות הן צמודות אם ורק אם הן מייצגות את אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים.
• שתי תמורות הן צמודות אם יש להן אותו מבנה מחזורים. כלומר אם לכל מחזור בפירוק של תמורה אחת מתאים מחזור באותו האורך בפירוק של התמורה האחרת.

• פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: ${\displaystyle (gag^{-1})(gbg^{-1})=g(ab)g^{-1}}$. במילים אחרות הפונקציה ${\displaystyle x\mapsto bxb^{-1}}$ היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
  • אם ${\displaystyle a,b}$ צמודים, אז גם ${\displaystyle a^{n},b^{n}}$ צמודים.
  • לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
• כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו (${\displaystyle gag^{-1}=gg^{-1}a=a}$). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
• מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית:

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]}$

כאשר ${\displaystyle Z(G)}$ הוא המרכז של ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle C(g)}$ הוא המְרַכֵּז של ${\displaystyle g}$ ו-${\displaystyle I}$ היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-${\displaystyle G}$ של איברים שאינם ב-${\displaystyle Z(G)}$.

• הצמדה, באתר MathWorld (באנגלית)