מרחב בייר (טופולוגיה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, מרחב בייר הוא מרחב טופולוגי שבו כל איחוד בן מניה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.^[1]

למרחבי בייר חשיבות רבה בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, זאת בעקבות משפט הקטגוריה של בייר הקובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הוא מרחב בייר. באמצעות מרחבים אלו ניתן להוכיח משפטים חשובים באנליזה פונקציונלית כגון משפט ההעתקה הפתוחה.^[2]

מרחב בייר נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בייר.

עבור מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ עם טופולוגיה ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ הקבוצה ${\displaystyle N\subseteq X}$ תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם הפנים של הסגור שלה ריק. כלומר, ${\displaystyle \operatorname {Int} (\operatorname {Cl} (N))=\emptyset }$.

קבוצה ${\displaystyle A\subseteq X}$ תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא מהווה איחוד בן מניה של קבוצות דלילות. לעומת זאת, הקבוצה ${\displaystyle A}$ תקרא קבוצה מקטגוריה שנייה אם ורק אם היא אינה קבוצה מקטגוריה ראשונה.

מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ עם טופולוגיה ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ייקרא מרחב בייר אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:^[3]

1. כל איחוד בן מניה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.
2. כל חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות וצפופות צפוף גם כן.
3. לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.
4. כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא קבוצה מקטגוריה שנייה.
5. המשלים של כל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.

ניתן להגדיר את המונח מרחב בייר באמצעות המשחק הטופולוגי משחק שוקה. עבור מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$, משחק שוקה משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב. בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה ${\displaystyle U_{1}\subseteq X}$ ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה ${\displaystyle U_{2}\subseteq U_{1}}$. לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת ${\displaystyle U_{3}\subseteq U_{2}}$ ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה ${\displaystyle U_{4}\subseteq U_{3}}$. המשחק נמשך עד לאינסוף כאשר לשני השחקנים אסור לבחור בקבוצה ריקה. אליס מנצחת את המשחק אם ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{U_{n}}\neq \emptyset }$. אחרת, בוב מנצח.^[4]

ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם המרחב ${\displaystyle X}$ הוא מרחב בייר. בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי מרחב בייר להיות מרחב טופולוגי שבו יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק שוקה.

• ממשפט הקטגוריה של בייר נובע כי המרחבים ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ עם הטופולוגיה הסטנדרטית הם מרחבי בייר.
• הישר של סורגנפריי ומישור מור הם מרחבי בייר, זאת על אף שהם אינם מקיימים את משפט הקטגוריה של בייר.

• מרחב בייר, באתר MathWorld (באנגלית)