מרחב מטרי שלם

בטופולוגיה, מרחב מטרי שלם הוא מרחב בו לכל סדרת קושי של נקודות מתוכו קיים גבול באותו מרחב. בצורה אינטואיטיבית, ניתן לומר כי מרחב שלם הוא מרחב שאין בו "חורים": אם יש סדרה של נקודות שהולכות ומתקרבות אחת לשנייה, הן יתקרבו לנקודה אחת מסוימת במרחב. שדה המספרים הממשיים הוא מרחב מטרי שלם, אבל מרחב המספרים הרציונליים אינו שלם, שכן סדרת מספרים רציונליים המתכנסת (בממשיים) ל-${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ היא סדרת קושי שאין לה גבול רציונלי.

תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב מטרי יהיה שלם מנוסח במשפט החיתוך של קנטור. מרחב מטרי שלם הוא קומפקטי אם ורק אם הוא חסום לחלוטין.

כל מרחב מטרי ניתן להשלמה. בצורה אינטואיטיבית ניתן לתאר השלמה בתור "מילוי החורים" במרחב, על ידי כך שמוסיפים למרחב את כל הגבולות של כל סדרות הקושי הלא מתכנסות. אחת מהדרכים להגדיר את המספרים הממשיים היא בדרך זו: מגדירים את המספרים הממשיים בתור ההשלמה של המספרים הרציונליים - כלומר, כל מספר ממשי הוא גבול של סדרת קושי כלשהי של מספרים רציונליים.

מבחינה פורמלית, מרחב Y הוא השלמה של מרחב X אם ורק אם X איזומטרי לקבוצה צפופה במרחב Y ו-Y הוא מרחב מטרי שלם. ניתן להוכיח שכל שתי השלמות של X הן איזומטריות זו לזו; כלומר הן זהות בכל הנוגע לתכונות המטריות שלהן.

ישנן שתי שיטות בנייה בסיסיות למרחב המשלים.

שיטה ראשונה

נעזר בטענה - כל מרחב מטרי ${\displaystyle (X,d)}$ ניתן לשכן בתוך מרחב בנך.^[1] כלומר, קיים שיכון ${\displaystyle f:X\hookrightarrow {L}^{\infty }(X)}$, כאשר מרחב הפונקציות הוא מרחב שלם. מספיק יהיה להביט בתמונה של X בתוך מרחב הפונקציות (שכן היא איזומורפית למרחב X). כדי להשלים את ${\displaystyle f(X)}$, נביט בקבוצה ${\displaystyle Cl(f(X))}$, היא הסגור של הקבוצה. קבוצה זו אכן סגורה, ולכן משלימה את תמונת X, ולכן משלימה (איזומורפית) את X.

שיטה שנייה

השיטה השנייה היא יותר קונסטרוקטיבית, ובמידה מסוימת גם יותר "חסכונית". נביט בקבוצה ${\displaystyle X'}$ הכוללת את כל סדרות קושי במרחב X. נגדיר עליה את הפסאודו מטריקה ${\displaystyle d'(\{{x}_{n}\},\{{y}_{n}\})=\lim _{n\rightarrow \infty }{d(}{x}_{n},{y}_{n})}$ . פונקציה זו מוגדת היטב ומגדירה פסאודו מטריקה על ${\displaystyle X'}$. נגדיר יחס שקילות ~ על ${\displaystyle X'}$ על ידי ${\displaystyle \{{x}_{n}\}\sim \{{y}_{n}\}\iff d'(\{{x}_{n}\},\{{y}_{n}\})=0\iff \lim _{n\rightarrow \infty }{d(}{x}_{n},{y}_{n})=0}$ ביחס שקילות זה, נביט בקבוצת מחלקות השקילות: ${\displaystyle {X}_{c}=\{[\{{x}_{n}\}]|\{{x}_{n}\}\in X'\}}$. ראשית, קל לשכן את המרחב X למרחב ${\displaystyle {X}_{c}}$ על ידי ${\displaystyle a\mapsto [{\{a(n)=a\}}_{n\in N}]}$. השלמת המרחב X תהיה שוב הסגור של התמונה.

כאשר מדובר בשדה סדור, השלמות מתייחסת לקיום חסם עליון לכל קבוצה חסומה. זוהי תכונה שונה מהתכנסות של סדרות קושי - ראו שדה סדור שלם לפרטים.

מרחב נורמי שלם נקרא מרחב בנך ואילו מרחב מכפלה פנימית שלם נקרא מרחב הילברט.

• מרחב מטרי שלם, באתר MathWorld (באנגלית)