משוואות קושי-רימן

באנליזה מרוכבת ואנליזה הרמונית, משוואות קושי-רימן הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שאותן מקיימים שני הרכיבים (הממשי והמרוכב) של כל פונקציה אנליטית מרוכבת. בכיוון ההפוך, אם הפונקציות הממשיות ${\displaystyle \ u(x,y),v(x,y)}$ הן דיפרנציאביליות ומקיימות את המשוואות, אז ${\displaystyle \,f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$ היא פונקציה אנליטית. תנאי זה לאנליטיות של ${\displaystyle \ f}$ נקרא תנאי קושי-רימן.

תהא ${\displaystyle \ f(z)=f(x+iy)}$ פונקציה מרוכבת, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות ${\displaystyle \ u,v}$ : ${\displaystyle \ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$.

משוואות קושי-רימן הן שתי המשוואות הדיפרנציאליות הבאות:

תנאי קושי-רימן לגזירות מנוסח באופן הבא:
פונקציה ${\displaystyle \ f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$ גזירה בנקודה ${\displaystyle \ z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ אם ורק אם ${\displaystyle \ u(x,y)}$ ו־${\displaystyle \ v(x,y)}$ רציפות בסביבת הנקודה ${\displaystyle \ z_{0}=(x_{0},y_{0})}$, הנגזרות החלקיות ${\displaystyle u_{x},u_{y},v_{x},v_{y}}$ קיימות ורציפות בנקודה זו ומשוואות (1) ו-(2) לעיל מתקיימות בנקודה זו.

משוואות (1) ו-(2) לעיל נובעות ממשוואת קושי-רימן ההומוגנית:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0}$

כך שאם נציב את ${\displaystyle \ u,v}$ במשוואה האחרונה, נקבל את המשוואות הקודמות. ניסוח זה נוח במיוחד כאשר רוצים לבדוק את קיום תנאי קושי-רימן אצל פונקציות שקשה להפריד אותן לחלק ממשי ולחלק מדומה, למשל: ${\displaystyle \ f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$.

כמו כן, אם נשתמש בקשרים ${\displaystyle \ x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})}$ ונפעיל את כלל השרשרת על משוואת קושי-רימן ההומוגנית, נקבל את התנאי ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$, שהוא בפני עצמו מעיד על אנליטיות של פונקציה. כלומר אם הנגזרת של f לפי ${\displaystyle {\bar {z}}}$ מתאפסת רק בנקודות מסוימות, אנחנו כבר יודעים שהפונקציה f היא אנליטית אך ורק בנקודות אלה. בנוסף, אם ${\displaystyle \ f=u+iv}$ היא אנליטית, אז גם ${\displaystyle \ g=-v+iu}$ היא אנליטית. נשים לב שעם ההגדרה הנ"ל עבור ${\displaystyle x}$ ו־${\displaystyle y}$ ניתן להגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:

${\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\quad ,\quad {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

ובדרך זו מקבלים ביטוי לאופרטור לפלס בשני משתנים: ${\displaystyle \ 4{\frac {\partial ^{2}}{\partial z\partial {\bar {z}}}}=\Delta }$.

כלומר, פונקציה מרוכבת המקיימת את משוואות קושי-רימן בנקודה מסוימת מקיימת את משוואת לפלס באותה נקודה.

ממשוואות קושי-רימן ניתן להסיק כי קווי הגובה של הפונקציות ${\displaystyle \ u,v}$ הם אורתוגונליים, כי המכפלה הסקלרית של הגרדיאנטים של ${\displaystyle \ u,v}$ מתאפסת:

${\displaystyle \nabla u\cdot \nabla v=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}=-u_{x}u_{y}+u_{y}u_{x}=0}$

מהוכחת משוואות קושי-רימן ניתן גם לקבל את ערך הנגזרת של הפונקציה. בשל הקשר בין הנגזרות החלקיות שבא לידי ביטוי במשוואות קושי-רימן, די בשתיים מהנגזרות החלקיות כדי לבטא את הנגזרת בשלמותה. ביטוי אחד לנגזרת הוא ${\displaystyle \ f'(z)=u_{x}+iv_{x}}$.

כמו כן, אם נתונה לנו למשל הפונקציה u והיא הרמונית בתחום מסוים, אז ניתן לקבל על ידי משוואות קושי-רימן את הפונקציה v, שתיקרא ההרמונית הצמודה של u, ולכן נוכל לקבל גם את הפונקציה f, שתהיה אנליטית בתחום ההרמוניות של u ו-v.

תנאי קושי רימן בייצוג קוטבי:

תהא ${\displaystyle \ f(z)=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}$ פונקציה מרוכבת בייצוג קוטבי, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות ${\displaystyle \ u,v}$ : ${\displaystyle \ f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )}$.

במקרה זה ניתן להמיר את תנאי הגזירות של ${\displaystyle \ u,v}$בייצוג האלגברי לקוטבי כך:

${\displaystyle u_{r}=({\frac {1}{r}})v_{\theta }}$

${\displaystyle ({\frac {1}{r}})u_{\theta }=-v_{r}}$

בצורה מוכללת יותר, לכל ייצוג קוטבי מהצורה ${\displaystyle \ f(z^{n})=r^{n}(cos(n\theta )+isin(n\theta ))}$(על פי דה מואבר) תנאי הגזירות יהיו:

${\displaystyle u_{r}=({\frac {1}{r}})^{n}v_{\theta }}$

${\displaystyle ({\frac {1}{r}})^{n}u_{\theta }=-v_{r}}$

נתבונן ב־f כפונקציה ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} }$. נגדיר קירוב ליניארי ל־f ונחשב את ${\displaystyle \Delta f}$:

${\displaystyle \Delta f=f(z+\Delta z)-f(z)=f_{x}(z)\Delta x+f_{y}\Delta y+\varepsilon (\Delta z)\Delta z}$ כאשר ${\displaystyle \lim _{\Delta z\to 0}\varepsilon (\Delta z)=0}$. (קל להשתכנע בקיומו של קירוב זה מטור טיילור)

נשים לב כי ${\displaystyle \Delta z+\Delta {\overline {z}}=2\Delta x\ ,\ \Delta z-\Delta {\overline {z}}=2i\Delta y}$, ולכן נוכל לרשום

${\displaystyle \Delta f={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\Delta {\overline {z}}+\varepsilon (\Delta z)\Delta z}$

נגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\ {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

נחלק ב־${\displaystyle \Delta z}$ ונשאיף לאפס:

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\cdot {\frac {d{\overline {z}}}{dz}}}$

קל לראות שהביטוי ${\displaystyle {\frac {d{\overline {z}}}{dz}}}$ לא מוגדר (פשוט באמצעות בדיקת הגבול פעם כשהחלק הממשי שווה לאפס והמדומה שואף לאפס, ופעם כשהחלק המדומה שווה לאפס והממשי שואף לאפס, שמניבים תוצאות שונות), לכן הביטוי כולו מוגדר אם ורק אם ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0}$, כלומר ${\displaystyle u_{x}+iv_{x}=-iu_{y}+v_{y}}$, ומהשוואת החלקים המדומה והממשי נקבל

${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$

${\displaystyle v_{x}=-u_{y}}$

שהן משוואות קושי-רימן.

• Ablowitz M. J. & Fokas A. S., Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 1997

• משוואות קושי-רימן, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• משוואות קושי-רימן, באתר MathWorld (באנגלית)