משוואת איינשטיין

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

משוואת איינשטיין או משוואת השדה של איינשטיין היא המשוואה המרכזית של תורת היחסות הכללית, הקרויה על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין. היא מקשרת בין הגאומטריה של המרחב-זמן, המגולמת בטנזור איינשטיין, לבין החומר במרחב, המבוטא באמצעות טנזור מאמץ-אנרגיה, תוך שימוש בקבוע הכבידה האוניברסלי של ניוטון ${\displaystyle G}$ ובקבוע של מהירות האור ${\displaystyle c}$. מציאת המשוואה הייתה אחד משיאי עבודתו של איינשטיין מפרסום תורת היחסות הפרטית ב-1905 ועד פרסום תורת היחסות הכללית בנובמבר 1915. משוואה זו מתארת קשר בין שדות טנזוריים והיא דיפרנציאלית ולא-ליניארית.

איינשטיין רצה לתאר את הכבידה כתורת-שדה עם משוואות שדה, בדומה לתורה שפותחה כדי לתאר את הכוח האלקטרומגנטי וההישגים שהיו לה. הרעיון שלו היה להכליל את משוואת פואסון הקלאסית של פוטנציאל כבידה (ניוטוני)

${\displaystyle \ \nabla ^{2}\Phi ={4\pi G}\rho }$

לצורה קו-וריאנטית יחסותית, כלומר צורה שאינה תלויה במערכת ייחוס ספציפית (מסקנה של תורת היחסות הפרטית). לאחר שנכשל מתודית בגיבוש תורה סקלרית (בה ישנו רכיב שדה יחיד) ובגיבוש תורה וקטורית (בה ישנם ארבעה רכיבי שדה, בדומה לתורה האלקטרומגנטית), פנה לחפש תורה טנזורית, בה לשדה יש 16 רכיבים (בפועל, תחת הדרישה שהטנזור יהיה סימטרי, ישנם 10 רכיבים בלתי-תלויים לכל היותר).

איינשטיין תיאר את שדה הגרביטציה כשדה מטריקה, כלומר טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. מטריקה זו מגדירה את העקמומיות של המרחב-זמן. באמצעות אותה המטריקה ניתן להגדיר את טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י ומהם מרכיבים את טנזור איינשטיין ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}}$

החומר (כל חומר) נכנס למשוואה איינשטיין דרך טנזור המאמץ-אנרגיה, גם הוא טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, המסומן ${\displaystyle \ T_{\mu \nu }}$. רכיביו מתארים את צפיפות האנרגיה (כלומר מסה), צפיפות התנע, לחץ ומאמץ בכל נקודה במרחב. לחומרים שונים תרומות שונות לטנזור זה; המודלים הפשוטים ביותר מתארים ואקום, מסה נקודתית, גז, אבק, קרינה ועוד.

כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על החומר, משוואת איינשטיין מאפיינת את הקשר ביניהם:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

זו משוואה טנזורית שבה כל רכיב הוא למעשה משוואה. לטנזורים במרחב-זמן יש 4x4=16 רכיבים, אך מאחר שהם סימטריים יש בפועל רק 10 רכיבים בלתי תלויים, וביניהם 4 הניתנים לשינוי חופשי באמצעות בחירת מערכת קואורדינטות. זוהי משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית אך מוצגת היטב וניתנת לפתרון. למשוואת-שדה זו ידועים מספר פתרונות עבור טנזורי צפיפות אנרגיה מסוימים, בין המפורסמים מהם: פתרון של ואקום, פתרונות של חור שחור, ופתרונות של גלי כבידה.

מאוחר יותר גילה איינשטיין שיש משוואה כללית יותר המקיימת את הדרישות התאוריות שהעלה. משוואה זו היא המשוואה הקודמת בתוספת תיקון שרירותי הידוע בשם "הקבוע הקוסמולוגי". המשוואה המלאה, הכוללת את הקבוע הקוסמולוגי ${\displaystyle \Lambda }$, היא

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

איינשטיין הוסיף את הקבוע הקוסמולוגי למשוואת השדה כיוון שבתקופתו הייתה נטייה להאמין שהיקום סטטי במהותו, ואינו מתפשט או מצטמצם בגודלו. אולם, מרגע שהאסטרונום אדווין האבל גילה שהיקום מתפשט, ב-1929, הבין איינשטיין שהקבוע הקוסמולוגי היה סתם תיקון אד הוק, וכינה אותו "השטות הגדולה ביותר בחיי" ("biggest blunder of my life").

משהצטברו בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20 עדויות לקיומה של אנרגיה אפלה ביקום, הוצע להשיב את הקבוע הקוסמולוגי למשוואות כדי לתאר את קיומה.

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו לוויקיפדיה ועזרו לערוך אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הסיבה היא: למעט בפסקה הראשונה בפרק: שגיאות עברית בסיסיות, כתיבה בסגנון ספר לימוד.

את משוואות השדה אפשר גם להסיק באופן ריגורוזי באמצעות עקרון הפעולה המינימלית, לשם כך צריך לחשב את הפעולה של מרחב שיכול להתעקם ולעשות וריאציה על ${\displaystyle \ S=S_{H}+S_{M}+S_{\Lambda }}$ כאשר ${\displaystyle S_{M}}$ היא הפעולה של החומר (מוואריאציה מקבלים את טנזור צפיפות האנרגיה), ${\displaystyle S_{\Lambda }}$ הוא פעולת האנרגיה האפלה (מוואריאציה עליה מקבלים את הקבוע הקוסמולוגי) ואילו ${\displaystyle S_{H}}$ היא הפעולה של מרחב עקום. המתמטיקאי דויד הילברט חישב את הפעולה של מרחב עקום ומצא שהיא שווה ל

${\displaystyle \ S_{H}=\int {d^{4}x{\sqrt {-\det g}}R}}$

כאשר R הוא סקלר ריצ'י המבטא את עקמומיות המרחב. מוואריאציה על פעולה זו (שנקראת "פעולת הילברט") מקבלים את אגף שמאל של משוואת השדה של איינשטיין.

ישנו פיתוח אחר של משוואת איינשטיין

משוואת איינשטיין נכתבת בצורה:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$ (1)

יחסות כללית עולה בקנה מידה אחד עם שימור מקומי של האנרגיה והתנע, הביטוי המתמטי לכך הוא:

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{;\mu }=0}$ (2)

לכן נחפש טנזור איינשטיין ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ אשר מקיים את התנאי:

${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }={G^{\mu \nu }}_{;\mu }=0}$ (3)

נתחיל בזהות ביאנקי הדיפרנציאלית:

${\displaystyle {R}_{\rho \sigma \mu \nu ;\lambda }+{R}_{\rho \sigma \lambda \mu ;\nu }+{R}_{\rho \sigma \nu \lambda ;\mu }=0}$ (4)

נכפיל את שני צידי המשוואה ב${\displaystyle g^{\rho \mu }}$:

${\displaystyle {R^{\mu }}_{\sigma \mu \nu ;\lambda }+{R^{\mu }}_{\sigma \lambda \mu ;\nu }+g^{\rho \mu }{R}_{\rho \sigma \nu \lambda ;\mu }=0}$

שווה ל:

${\displaystyle {R}_{\sigma \nu ;\lambda }-{R^{\mu }}_{\sigma \mu \lambda ;\nu }-g^{\rho \mu }{R}_{\sigma \rho \nu \lambda ;\mu }=0}$

נכפיל את שני צידי המשוואה ב${\displaystyle g^{\sigma \nu }}$:

${\displaystyle {R^{\nu }}_{\nu ;\lambda }-{R^{\nu }}_{\lambda ;\nu }-g^{\rho \mu }{R^{\nu }}_{\rho \nu \lambda ;\mu }=0}$

שווה ל:

${\displaystyle {R}_{;\lambda }-{R^{\nu }}_{\lambda ;\nu }-g^{\rho \mu }{R}_{\rho \lambda ;\mu }=0}$

${\displaystyle {R}_{;\lambda }-{R^{\nu }}_{\lambda ;\nu }-{R^{\mu }}_{\lambda ;\mu }=0}$

${\displaystyle {R}_{;\lambda }-2{R^{\mu }}_{\lambda ;\mu }=0}$

${\displaystyle {R^{\mu }}_{\lambda ;\mu }-{\frac {1}{2}}{R}_{;\lambda }=0}$

נכפיל את שני צידי המשוואה ב${\displaystyle g^{\nu \lambda }}$:

${\displaystyle {R^{\mu \nu }}_{;\mu }-{\frac {1}{2}}g^{\nu \lambda }{R}_{;\lambda }=0}$

${\displaystyle {R^{\mu \nu }}_{;\mu }-{\frac {1}{2}}g^{\nu \mu }{R}_{;\mu }=0}$

${\displaystyle {\Bigl (}{R^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{R}{\Bigr )}_{;\mu }=0}$ (5)

נגדיר טנזור איינשטיין ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$ כך:

${\displaystyle G^{\mu \nu }={R^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }{R}}$

טנזור איינשטיין מקיים את התנאי (לפי משוואה 5):

${\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }={G^{\mu \nu }}_{;\mu }=0}$

לכן טנזור איינשטיין הוא הטנזור שנמצא בצד השמאלי של משוואת איינשטיין.

כעת נחפש את הערך הקבוע ${\displaystyle \kappa }$, קבוע הכבידה של איינשטיין. משוואת השדה צריכה לשמר את צורת תאוריית הכבידה הניוטונית בקירובים של כבידה חלשה, למעשה כדי לפתוח של משוואת השדה נעשה שימוש בתאוריית הכבידה הניוטונית תחת הנחת כבידה חלשה.

תאוריית הכבידה של ניוטון מנוסחת בצורתה הכללית ביותר על ידי חוק גאוס הכבידתי, חוק מקשר בין פוטנציאל הכבידה ${\displaystyle \Phi }$ לבין צפיפות המסה ${\displaystyle \rho }$.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho }$ (6)

מסלול של גוף הנופל נפילה חופשית הוא:

${\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}={\vec {g}}=-{\vec {\nabla }}\Phi }$

${\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=-{\partial \Phi \over \partial x^{i}}}$ (7)

משוואת התנועה ביחסות כללית היא משוואת הגאודזיה שנכתבת כך:

${\displaystyle {d^{2}x^{\sigma } \over d\tau ^{2}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{dx^{\mu } \over d\tau }{dx^{\nu } \over d\tau }=0}$ (8)

עובר קירוב של מהירויות נמוכות אנו מניחים ש 4-וקטור המהירות הוא:

${\displaystyle v^{\sigma }={dx^{\sigma } \over d\tau }\approx (c,0,0,0)}$ (9)

חישוב של סמלי כריסופל על ידי שימוש במשוואת התנועה (8) עבור מהירויות נמוכות נותן:

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}=-{\frac {1}{c^{2}}}{d^{2}x^{i} \over dt^{2}}}$

לפי משוואה 7

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial \Phi \over \partial x^{i}}}$ (10)

עבור מהירויות נמוכות טנזור האנרגיה תנע שווה ל:

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\text{diag}}(\rho c^{2},0,0,0)}$ (11)

אנו מניחים שהכבידה חלשה לכן עקמומיות המרחב זמן גם כן קטן ולכן המטריקה היא:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\approx \eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$ (12)

כאשר ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ הוא ערך קטן מאוד.

נניח גם כן שהמטריקה אינה תלויה בזמן (כי המהירויות הם מאוד נמוכות) לכן:

${\displaystyle \partial _{0}g_{\mu \nu }=0\Rightarrow \partial _{0}\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }=0}$ (13)

כעת נחשב את טנזור ריצ'י על ידי שימוש במשוואת איינשטיין עבור שלושת ממדי המרחב

${\displaystyle G_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=\kappa T_{ij}}$

לפי משוואה 12 ביטוי זה שווה בקירוב ל:

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}\eta _{ij}R=0}$

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{2}}R\delta _{ij}}$ (13)

נחשב את סקלר ריצ'י

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=-R_{00}+\delta ^{ij}R_{ij}}$

נציב את משוואה 13

${\displaystyle R\approx -R_{00}+\delta ^{ij}{\frac {1}{2}}R\delta _{ij}=-R_{00}+3{\frac {1}{2}}R}$

לכן:

${\displaystyle R_{00}={\frac {1}{2}}R}$ (14)

מתוך המשוואות 13 ו- 14

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}R\delta _{\mu \nu }}$ (15)

כעת נחשב את ${\displaystyle R_{00}}$ לפי נוסחת טנזור ריצ'י

${\displaystyle R_{00}={R^{\mu }}_{0\mu 0}={R^{0}}_{000}+{R^{i}}_{0i0}={R^{i}}_{0i0}}$

טנזור רימן הוא:

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \mu }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \nu }^{\rho }}$

לכן עובר ${\displaystyle R_{00}}$:

${\displaystyle {R^{i}}_{0i0}=\partial _{i}\Gamma _{00}^{i}-\partial _{0}\Gamma _{0i}^{i}+\Gamma _{00}^{\alpha }\Gamma _{\alpha i}^{i}-\Gamma _{0i}^{\alpha }\Gamma _{\alpha 0}^{i}}$

מתוך ההנחה שהכבידה חלשה מאוד (משוואה 12) סמלי כריסטופל קטנים לכן ניתן לבצע קירוב לביטוי זה

${\displaystyle {R^{i}}_{0i0}=\partial _{i}\Gamma _{00}^{i}-\partial _{0}\Gamma _{0i}^{i}}$

מתוך ההנחה שהמטריקה אינה תלויה בזמן (משוואה 13) ניתן לכתוב ביטוי זה כך:

${\displaystyle {R^{i}}_{0i0}=\partial _{i}\Gamma _{00}^{i}}$

לכן:

${\displaystyle R_{00}=\partial _{i}{\Bigl (}{\frac {1}{c^{2}}}{\partial \Phi \over \partial x^{i}}{\Bigr )}={\frac {1}{c^{2}}}\nabla ^{2}\Phi }$

נציב את משוואה 6 ונקבל:

${\displaystyle R_{00}={\frac {1}{c^{2}}}4\pi G\rho }$ (16)

נכתוב את משוואת איינשטיין:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }}$

לפי הנחת הכבידה החלשה (משוואה 12), והצבה של משוואה 15, ניתן לכתוב את משוואת איינשטיין כך:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}R\delta _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }}$

שזה שווה ל:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}R{\text{ diag}}(1,1,1,1)-{\frac {1}{2}}R{\text{ diag}}(-1,1,1,1)R=\kappa {\frac {1}{2}}R{\text{ diag}}(\rho c^{2},0,0,0)}$

לכן משוואת איינשטיין עבור ${\displaystyle \mu =\nu =0}$ היא:

${\displaystyle R=\kappa \rho c^{2}}$

נציב את משוואה 14 ונקבל:

${\displaystyle 2R_{00}=\kappa \rho c^{2}}$

נציב את משוואה 16 ונקבל:

${\displaystyle 2{\frac {4\pi G\rho }{c^{2}}}=\kappa \rho c^{2}}$

לכן קבוע הכבידה של איינשטיין הוא:

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

${\displaystyle \kappa =2.07664122\cdot 10^{-43}sec^{2}kg^{-1}m^{-1}}$

לכן משוואת השדה של איינשטיין היא:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$

• משוואת איינשטיין, באתר MathWorld (באנגלית)