משפט ניוטון על דעיכה מסלולית

בדינמיקה, משפט ניוטון על דעיכה מסלולית (באנגלית: Newton's theorem of orbital decay) מספק כללים מתמטיים לקביעת קצב הדעיכה של מסלולו של עצם הנתון בתנועה מסלולית סביב גרם שמיים תחת השפעת הכבידה של גרם השמיים ותווך שיוצר כוח התנגדות לתנועת העצם היחסי לצפיפות התווך ולמהירות העצם בריבוע.

אייזק ניוטון גזר את המשפט הזה ואת המסקנות ממנו כטענות 17 - 15 בחלק הרביעי של הכרך השני של ספרו "פרינקיפיה", שם הוא מוכיח את המשפט שטוען כי אם צפיפות התווך המתנגד יחסית להיפוך המרחק ממרכז הכוח המרכזי, אז מסלול העצם יהווה ספירלה שוות-זווית (equiangular spiral) - או ספירלה לוגריתמית. משפט ניוטון על דעיכה מסלולית קובע למעשה שבמקרה זה המשיק לספירלה ייצור זווית קבועה ${\displaystyle \alpha }$ עם הרדיוס ווקטור מהראשית אל הנקודה על הספירלה.

בחלק הרביעי של הספר השני של הפרינקיפיה, שכותרתו "בנוגע לתנועה המעגלית של גופים בתווך שיוצר התנגדות", ניוטון ניסח את הטענה בצורה הבאה:

"אם הצפיפות של התווך במקומות ספציפיים תהיה כמו ההופכי למרחק של הנקודות מהמרכז הנייח, והכוח הצנטריפטלי ישתנה כמו ההופכי לריבוע המרחק, אז ניתן לומר שהגוף יסתובב בספירלה, אשר כל הרדיוסים המשורטטים מהמרכז יחתכו בזווית שווה"

נקרא לזווית הקבועה שיוצרים הרדיוסים עם המשיק לספירלה ${\displaystyle \alpha }$, וננסה לקבוע מה חוק הצפיפות שיגרום לחלקיקי לנוע בספירלה שוות זווית זאת. יהיו r ו-v הרדיוס ומהירות החלקיק בכל זמן שהוא. נניח ש-P הוא הכוח המרכזי, ו-${\displaystyle C_{D}(A/m)xv^{2}}$ הוא ההתנגדות שיוצר התווך; הצפיפות ${\displaystyle x}$ ו-P הם שניהם פונקציות של הרדיוס r. בנוסחה האחרונה m היא מסת העצם, A שטח החתך שלו בכיוון התנועה ו-${\displaystyle C_{D}}$ הוא המקדם הבליסטי של העצם (מקדם הגרר).

המשוואה שנותנת את התנועה לאורך קשת כלשהי תחת התנאים האלה היא:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-C_{D}(A/m)xv^{2}-P\cos \alpha }$

כאשר בנוסף מתקיים עבור כל העקומים:

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=v\cos \alpha }$

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dr}}v\cos \alpha }$

מהשוואת שתי המשוואות ל ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}}$ נקבל:

${\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dr}}+{\frac {2C_{D}Axv^{2}}{m\cos \alpha }}=-2P}$, ונקרא למשוואה זו משוואה (1) .

המשוואה שנותנת את התנועה בניצב לכיוון התנועה ידועה והיא: ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}=P\sin \alpha }$. ניעזר בעובדה שבספירלה שוות-זווית רדיוס העקמומיות R מקיים:

${\displaystyle R={\frac {r}{\sin \alpha }}}$

ונקבל:

${\displaystyle v^{2}=Pr}$ ונקרא לכך משוואה (2).

אם נציב במשוואה (1) את משוואה (2) נקבל:

${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-(3+{\frac {2C_{D}Axr}{m\cos \alpha }}){\frac {dr}{r}}}$

ואם נבצע אינטגרציה נקבל:

${\displaystyle \log P=C-\int (3+{\frac {2C_{D}Axr}{m\cos \alpha }}){\frac {dr}{r}}}$

אם נניח שהכוח המרכזי P משתנה לפי היפוך ריבוע המרחק מהמרכז ${\displaystyle P={\frac {\mu }{r^{2}}}}$, ולאחר מכן נציב: ${\displaystyle x(r)=-{\frac {m\cos \alpha }{2C_{D}Ar}}}$, אזי נקבל שוויון זהותי בין אגף ימין ושמאל, כלומר:

${\displaystyle \log P=\log \mu -2\log r}$

${\displaystyle C-\int (3+{\frac {2C_{D}Axr}{m\cos \alpha }}){\frac {dr}{r}}=C-\int (3-1){\frac {dr}{r}}=C-2\log r}$

כלומר מתקבל שוויון.

מסקנות מן המשפט:

כבר מההנחה שהמסלול נע בספירלה שוות-זווית נובע (משוואה (2)) שבכל נקודה על המסלול הספירלי מהירות העצם שווה למהירות בה היה נע אילו נע בתנועה מעגלית באותו רדיוס r סביב מרכז הכוח. כלומר, מהירות העצם בתלות ברדיוס היא:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$

זוהי המסקנה הראשונה של ניוטון.

קביעת זווית הגישה הקבועה ${\displaystyle \alpha }$ - בסעיף זה נשאל שאלה הפוכה: לא ננסה לקבוע בהינתן מסלול תנועה מסוים מה חוק הצפיפות של התווך, אלא נשאל בהינתן צפיפות מקומית מה המסלול שיתקבל. ניתן להראות כי היחס בין כוח התנגדות התווך לכוח המרכזי הוא שמכתיב את זווית הגישה הקבועה ${\displaystyle \alpha }$. ככל שהיחס גדול יותר הזווית ${\displaystyle \alpha }$ תהיה קרובה יותר ל-180 מעלות והירידה תהיה תלולה יותר. מתמטית, אם נסמן את היחס בין כוח ההתנגדות לכוח המרכזי ב-k, נקבל:

${\displaystyle F_{r}=C_{D}(A/m)xv^{2}=kP}$. נציב את התוצאה למהירות מהמסקנה הראשונה של ניוטון ונקבל: ${\displaystyle C_{D}(A/m)x{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {\cos \alpha \mu }{2r^{2}}}=kP=k{\frac {\mu }{r^{2}}}}$ ונקבל: ${\displaystyle \cos \alpha =-2k}$. ניתן לראות איפוא שההנחה שמתקבלת ספירלה לוגריתמית תקפה כל עוד הערך המוחלט של k קטן או שווה ל-1/2 (שכן קוסינוס הזווית קטן או שווה בערכו המוחלט ל-1); אחרת יתקבל מסלול שאינו ספירלה לוגריתמית.

זמן התנועה המסלולית של החלקיק - כיוון שמהירות ההתקרבות הרדיאלית של העצם בכל רדיוס r נתונה על ידי :

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=v\cos \alpha ={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}\cos \alpha }$,

נקבל איפוא שזמן התנועה בין רדיוסים ${\displaystyle r_{1}}$ ו-${\displaystyle r_{2}}$ הוא: ${\displaystyle t={\frac {1}{\cos \alpha {\sqrt {\mu }}}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {r}}dr}$. לכן מתקיים:

${\displaystyle T={\frac {2}{3\cos \alpha {\sqrt {\mu }}}}(r_{2}^{\frac {3}{2}}-r_{1}^{\frac {3}{2}})}$

וניתן להראות בנקל גם שמספר ההקפות שהעצם ישלים במעבר בין רדיוסים ${\displaystyle r_{2}}$ ל-${\displaystyle r_{1}}$ הוא:

${\displaystyle N={\frac {\tan \alpha }{2\pi }}\log({\frac {r_{2}}{r_{1}}})}$.

מסקנות אלו הן המסקנות החמישית והשישית של ניוטון.

למשפט יש חשיבות מעשית מוגבלת, שכן חוק הצפיפות שניוטון מניח במשפט הוא היפותטי - פרופיל הצפיפות של אטמוספירה של כוכב מציית בדרך כלל לחוק מעריכי (כלומר צפיפות האטמוספירה יורדת מעריכית עם הגובה), בעוד שניוטון מניח במשפט שהצפיפות משתנה בהתאם להופכי של המרחק ממרכז הכוח. לכן לא יכול להיות לו חשיבות למשל, בחישוב דעיכת המסלול של מסלולי לוויינים.

• Analytical view of Sir Isaac Newton's Principia, עמודים 220 - 212.