משפט פאפוס

משפט פאפוס הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי הקובע כי אם נסובב צורה דו-ממדית סביב ישר מסוים, נקבל שנפח גוף הסיבוב מתקבל לפי הנוסחה ${\displaystyle V=2\pi R_{CM}A}$ כאשר:

• ${\displaystyle R_{CM}}$ הוא המרחק של מרכז הכובד של הצורה הדו-ממדית מן הישר.
• ${\displaystyle A}$ הוא שטח הצורה.

באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים על ידי הטלה שלהם למישור [XY] וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שעלינו לחשב את נפח העקומה הבאה: ${\displaystyle (x-2)^{2}+4(y-1)^{2}=1}$ המסובב סביב הישר ${\displaystyle y=3x-1}$. זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.

ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה ${\displaystyle A}$, אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא לשטח אליפסה - ${\displaystyle S=ab\pi }$ כאשר ${\displaystyle a,b}$ הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה.
במקרה זה אורכי הצירים הם ${\displaystyle a=1,b=0.5}$ ולכן שטח האליפסה הוא ${\displaystyle S=0.5\pi }$.
כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה. מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו ${\displaystyle (2,1)}$.

נרצה למצוא כעת את המרחק של האליפסה מהישר. זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:

${\displaystyle d={\frac {|Ax+By+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\rightarrow d={\frac {|3x-y-1|}{\sqrt {1^{2}+3^{2}}}}\rightarrow d={\frac {|3\times 2-1-1|}{\sqrt {10}}}\rightarrow d={\frac {4}{\sqrt {10}}}}$

לסיום, כל מה שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל:

${\displaystyle V=2\pi \times {\frac {1}{2}}\pi \times {\frac {4}{\sqrt {10}}}\rightarrow V={\frac {4}{\sqrt {10}}}\pi ^{2}\rightarrow V\approx 1.265\pi ^{2}}$

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מדיה וקבצים בנושא משפט פאפוס בוויקישיתוף

• משפט פאפוס, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.