משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה ליניארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה ${\displaystyle \ f(\lambda )=|\lambda I-A|}$, כלומר, מתקיים ${\displaystyle \ f(A)=0}$. בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל ${\displaystyle \ 2\times 2}$, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל ${\displaystyle \ 3\times 3}$; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים, גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל ${\displaystyle \ 4\times 4}$. ב- 1878 הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס את המקרה הכללי.

המשפט תקף כאשר רכיבי המטריצה שייכים לחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות ${\displaystyle \ \operatorname {M} _{n}(C)}$ הם חוגי זהויות פולינומיות.

נסמן ${\displaystyle f(x)=\Sigma _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}$. ראשית ידוע כי לכל מטריצה ${\displaystyle \ A}$ מתקיים כי ${\displaystyle A\,\mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\,A=\det(A)\,I}$, ולכן עבור ${\displaystyle C=xI-A}$ מתקיים כי ${\displaystyle f(x)I=|xI-A|I=(xI-A)\mathrm {adj} (xI-A)=(xI-A)\mathrm {adj} (C)}$ ומכיוון שאיברי המטריצה ${\displaystyle C}$ הם פולינומים ממעלה ראשונה נובע שאיברי ${\displaystyle \mathrm {adj} (C)}$ הם פולינומים ממעלה קטנה או שווה ל-${\displaystyle n-1}$. לכן ניתן לכתוב את ${\displaystyle \mathrm {adj} (C)}$ כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, ${\displaystyle \mathrm {adj} (C)=\Sigma _{k=0}^{n-1}B_{k}x^{k}}$. מכיוון ש-${\displaystyle f(x)I=(xI-A)\mathrm {adj} (C)}$ אז מתקיים כי ${\displaystyle f(x)I=\Sigma _{k=0}^{n}c_{k}Ix^{k}}$ ו- ${\displaystyle (xI-A)\mathrm {adj} (C)=\Sigma _{k=0}^{n}(B_{k-1}-AB_{k})x^{k}}$, כאשר מגדירים ${\displaystyle B_{-1}=B_{n}=0}$. לכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי ${\displaystyle c_{k}I=B_{k-1}-AB_{k}}$ אז אם נכפול ב-${\displaystyle A^{k}}$ נקבל כי ${\displaystyle c_{k}A^{k}=A^{k}B_{k-1}-A^{k+1}B_{k}}$ ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

אם מניחים שהמטריצה לכסינה, ההוכחה קלה יותר:

• הפעלת המטריצה הריבועית ${\displaystyle f(A)}$ (המטריצה המתקבלת מהצבת המטריצה המקורית A בפולינום האופייני שלה) על כל אחד מהוקטורים העצמיים של A מחזירה את הווקטור העצמי ${\displaystyle v_{i}}$ כפול סקלר מסוים ${\displaystyle \alpha _{i}}$ (זה נובע מההגדרה של וקטור עצמי).
• הסקלר הזה שווה לערך הפולינום האופייני כאשר מציבים בו את הערך העצמי ${\displaystyle \lambda }$ אליו משויך הווקטור העצמי; בכתיב מתמטי:

${\displaystyle f(A)\cdot v_{i}=A^{n}\cdot v_{i}+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v_{i}+\cdots +c_{1}A\cdot v_{i}+c_{0}I_{n}\cdot v_{i}=\lambda ^{n}v_{i}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v_{i}+\cdots +c_{1}\lambda v_{i}+c_{0}v_{i}=f(\lambda )v_{i}}$

• מהגדרת הפולינום האופייני נובע שכל ערך עצמי של המטריצה המקורית הוא שורש שלו; לפיכך המטריצה ${\displaystyle f(A)}$ שולחת את כל אחד מהווקטורים העצמיים של A לאפס (${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ לכל i).
• מכיוון ש-A לכסינה, אוסף הווקטורים העצמיים שלה, ${\displaystyle {v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}}$, הוא בסיס למרחב עליו היא פועלת. מכיוון ששתי מטריצות הפועלות באופן זהה על כל אחד מוקטורי בסיס של מרחב ליניארי הן בהכרח זהות, מקבלים ש-${\displaystyle f(A)}$ שווה זהותית למטריצת האפס.

נציג הוכחה נוספת המשתמשת בצורת ז'ורדן מעל הסגור האלגברי של שדה הבסיס.

ראשית, נשים לב שאם A,B מטריצות דומות ו-A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כך גם B. הוכחה: למטריצות דומות אותו פולינום אופייני. כיוון ש-A,B דומות, קיימת מטריצה D כך ש-${\displaystyle B=D^{-1}AD}$. הנחנו ש-A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר אם הפולינום האופייני הוא ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+...a_{n}x^{n}}$ אז ${\displaystyle a_{0}+a_{1}A+...a_{n}A^{n}=0}$. נכפיל ביטוי זה משמאל ב-D^-1 ומימין ב-D ונקבל ${\displaystyle D^{-1}(a_{0}+a_{1}A+...a_{n}A^{n})D=0}$. לאחר פתיחת סוגריים ושימוש בכך ש-${\displaystyle D^{-1}A^{k}D=B^{k}}$ לכל k (קל להוכיח זאת באינדוקציה), מקבלים ${\displaystyle a_{0}+a_{1}B+...a_{n}B^{n}=0}$ כרצוי. לכן, מספיק להוכיח שלכל מטריצה יש מטריצה שדומה לה עבורה משפט קיילי-המילטון מתקיים.

ראשית נניח שהמטריצה A היא בלוק ז'ורדן יחיד, שעל האלכסון שלו הערכים ${\displaystyle \lambda }$. אז הפולינום האופייני שלה הוא ${\displaystyle (x-\lambda )^{n}}$. הצבת המטריצה נותנת ${\displaystyle (A-\lambda I)^{n}}$. נשים לב ש-${\displaystyle A-\lambda I}$ היא מטריצה משולשית עם אפסים על האלכסון, לכן העלתה בחזקת n מאפסת אותה.

כעת נניח ש-A מטריצה כללית. הפולינום האופייני נשמר תחת הרחבת שדות, לכן ניתן להניח שהשדה מעליו מוגדרת המטריצה סגור אלגברית, כלומר קיימת מטריצה B בצורת ז'ורדן שדומה לה. מהמשפט בתחילת ההוכחה, ניתן להניח ש-A כבר נתונה בצורת ז'ורדן. הפולינום האופייני הוא מכפלת ביטויים מהצורה ${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{n_{i}}}$ כאשר ${\displaystyle \lambda _{i}}$ הוא הערך בבלוק ה-i ו-${\displaystyle n_{i}}$ הוא גודל הבלוק. כמו בפסקה הקודמת, הצבת המטריצה בפולינום האופייני נותנת אפסים בשורות שבהן מופיע הבלוק הזה. לכן הצבת המטריצה בפולינום האופייני נותנת מכפלת מטריצות שלכל אחת מהן שורות אפסים ושכולן ביחד מכסות את כל השורות - ולכן מכפלתן היא מטריצת האפס כרצוי.

כהקדמה להוכחה, נרחיב את המושג כפל מטריצות: יהי ${\displaystyle R}$ חוג ויהי ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$-מודול שמאלי. עבור שלמים חיוביים ${\displaystyle m,n,p}$, תהיינה ${\displaystyle A=(A_{ij})\in R^{m\times n}}$ ו-${\displaystyle B=(B_{ij})\in M^{n\times p}}$ מטריצות. מכפלתן ${\displaystyle AB\in M^{m\times p}}$ תוגדר לפי הנוסחה ${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}}$. ההגדרה הסטנדרטית של כפל מטריצות היא מקרה פרטי כאשר ${\displaystyle M=R}$ כמודול מעל עצמו. כמו בכפל המטריצות הסטנדרטי, מתקיימת תכונת האסוציאטיביות: עבור שלמים חיוביים ${\displaystyle m,n,p,q}$ ומטריצות ${\displaystyle A\in R^{m\times n}}$, ${\displaystyle B\in R^{n\times p}}$ ו-${\displaystyle C\in M^{p\times q}}$ מתקיים כי ${\displaystyle (AB)C=A(BC)}$.

כעת נסמן ב-${\displaystyle \mathbb {F} }$ את השדה הנ"ל. עבור המרחב הווקטורי ${\displaystyle V=\mathbb {F} ^{n}}$ עם הבסיס הסטנדרטי ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$, נגדיר על ${\displaystyle V}$ מבנה של מודול מעל חוג הפולינומים ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$ באמצעות הנוסחה ${\displaystyle \varphi (x)v=\varphi (A)v}$ לכל וקטור ${\displaystyle v\in V}$ ופולינום ${\displaystyle \varphi (x)\in \mathbb {F} [x]}$. הגדרה זו מרחיבה את המבנה של ${\displaystyle V}$ כמרחב וקטורי מעל ${\displaystyle \mathbb {F} }$. נסמן ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}$. נשים לב שלכל ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ מתקיים ${\displaystyle xe_{i}=Ae_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j,i}e_{j}}$. לכן, אם נסמן ב-${\displaystyle E\in V^{n\times 1}}$ את וקטור העמודה ${\displaystyle {\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\\\vdots \\e_{n}\end{pmatrix}}}$ עם רכיבים ב-${\displaystyle V}$ אז נקבל כי ${\displaystyle (xI-A^{\mathrm {tr} })E=0_{n\times 1}}$, כאשר ${\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}$ היא המטריצה המשוחלפת של ${\displaystyle A}$. כעת נשתמש באסוציאטיביות של כפל מטריצות לעיל עם ${\displaystyle R=\mathbb {F} [x]}$ ו-${\displaystyle M=V}$ ונקבל:

${\displaystyle 0_{n\times 1}=\mathrm {adj} (xI-A^{\mathrm {tr} })(xI-A^{\mathrm {tr} })E=\det(xI-A^{\mathrm {tr} })E=\det(xI-A)E=f(x)E}$

לכן לכל ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ מתקיים ${\displaystyle 0_{n\times 1}=f(x)e_{i}=f(A)e_{i}}$. כלומר, כל עמודה של ${\displaystyle f(A)}$ היא עמודת אפסים. מכאן ש- ${\displaystyle f(A)}$ היא מטריצת האפס כנדרש.

• אלגברה א', חלק שלישי, 259-262, ש. עמיצור
• אלגברה א', חלק ראשון, 167, ש. עמיצור
• היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות

• משפט קיילי-המילטון, באתר MathWorld (באנגלית)